【題目】我們知道,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,對(duì)于這樣的拋物線:
(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,0)和(﹣1,3)時(shí),求拋物線的表達(dá)式;
(2)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線y=﹣2x上時(shí),求b的值;
(3)如圖,現(xiàn)有一組這樣的拋物線,它們的頂點(diǎn)A1、A2、…,An在直線y=﹣2x上,橫坐標(biāo)依次為﹣1,﹣2,﹣3,…,﹣n(n為正整數(shù),且n≤12),分別過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線,垂足記為B1、B2,…,Bn,以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn,如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)Dn,求此時(shí)滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長(zhǎng).
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=﹣3x2﹣6x;(2)b1=﹣4,b2=0;(3)正方形的邊長(zhǎng)是10.
【解析】試題分析:(1)把點(diǎn)(﹣2,0)和(﹣1,3)分別代入y=ax2+bx,得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,解方程組即可;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),得出拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣,﹣),把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣2x,得出﹣=﹣2×(﹣),即可求出b的值;
(3)由于這組拋物線的頂點(diǎn)A1、A2、…,An在直線y=﹣2x上,根據(jù)(2)的結(jié)論可知,b=4或b=0.①當(dāng)b=0時(shí),不合題意舍去;②當(dāng)b=﹣4時(shí),拋物線的表達(dá)式為y=ax2﹣4x.由題意可知,第n條拋物線的頂點(diǎn)為An(﹣n,2n),則Dn(﹣3n,2n),因?yàn)橐訟n為頂點(diǎn)的拋物線不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)Dn,設(shè)第n+k(k為正整數(shù))條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Dn,此時(shí)第n+k條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是An+k(﹣n﹣k,2n+2k),根據(jù)﹣=﹣n﹣k,得出a==﹣,即第n+k條拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2﹣4x,根據(jù)Dn(﹣3n,2n)在第n+k條拋物線上,得到2n=﹣×(﹣3n)2﹣4×(﹣3n),解得k=n,進(jìn)而求解即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,0)和(﹣1,3),
∴,解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣3x2﹣6x;
(2)∵拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣,﹣),且該點(diǎn)在直線y=﹣2x上,
∴﹣=﹣2×(﹣),
∵a≠0,∴﹣b2=4b,
解得b1=﹣4,b2=0;
(3)這組拋物線的頂點(diǎn)A1、A2、…,An在直線y=﹣2x上,
由(2)可知,b=4或b=0.
①當(dāng)b=0時(shí),拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),不合題意,舍去;
②當(dāng)b=﹣4時(shí),拋物線的表達(dá)式為y=ax2﹣4x.
由題意可知,第n條拋物線的頂點(diǎn)為An(﹣n,2n),則Dn(﹣3n,2n),
∵以An為頂點(diǎn)的拋物線不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)Dn,設(shè)第n+k(k為正整數(shù))條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Dn,此時(shí)第n+k條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是An+k(﹣n﹣k,2n+2k),
∴﹣=﹣n﹣k,∴a==﹣,
∴第n+k條拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2﹣4x,
∵Dn(﹣3n,2n)在第n+k條拋物線上,
∴2n=﹣×(﹣3n)2﹣4×(﹣3n),解得k= n,
∵n,k為正整數(shù),且n≤12,
∴n1=5,n2=10.
當(dāng)n=5時(shí),k=4,n+k=9;
當(dāng)n=10時(shí),k=8,n+k=18>12(舍去),
∴D5(﹣15,10),
∴正方形的邊長(zhǎng)是10.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料,解答問(wèn)題
數(shù)學(xué)課上,同學(xué)們興致勃勃地探討著利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法.
小惠說(shuō):“如圖1,我用相同的兩塊含 30°角的直角三角板可以畫角的平分線.畫法如下:
①在 的兩邊分別取點(diǎn) M,N,使 OM=ON ;
②把直角三角板按如圖所示的位置放置,兩斜邊交于點(diǎn) P ;
③作射線 OP .則OP是∠AOB 的平分線.”小旭說(shuō):“我只用刻度尺就可以畫角平分線.”
請(qǐng)你也參與探討,解決以下問(wèn)題:
(1)小惠的作法正確嗎?若正確,請(qǐng)給出證明,若不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)請(qǐng)你和小旭一樣,只用刻度尺畫出圖 2 中∠QRS 的平分線,并簡(jiǎn)述畫圖的過(guò)程.
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【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A.a2a3=a6B.(ab3)2=a2b6
C.(a+2b)(a﹣2b)=a2﹣2b2D.a(ab﹣1)=a2b﹣1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】貴陽(yáng)市某消防支隊(duì)在一幢居民樓前進(jìn)行消防演習(xí),如圖所示,消防官兵利用云梯成功救出在C處的求救者后,發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯將其救出,已知點(diǎn)A與居民樓的水平距離是15米,且在A點(diǎn)測(cè)得第一次施救時(shí)云梯與水平線的夾角∠CAD=60°,求第二次施救時(shí)云梯與水平線的夾角∠BAD的度數(shù)(結(jié)果精確到1°).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求∠A,∠ADB的度數(shù)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“知識(shí)改變命運(yùn),科技繁榮祖國(guó)”,我市中小學(xué)每年都要舉辦一屆科技運(yùn)動(dòng)會(huì),下圖為我市某校今年參加科技運(yùn)動(dòng)會(huì)航模比賽(包括空模、海模、車模、建模四個(gè)類別)的參賽人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖:
(1)該校參加車模、建模比賽的人數(shù)分別是 人和 人:
(2)該校參加航模比賽的總?cè)藬?shù)是 人,空模所在扇形的圓心角的度數(shù)是 ,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)從全市中小學(xué)參加航模比賽選手中隨機(jī)抽取80人,其中有32人獲獎(jiǎng),今年我市中小學(xué)參加航模比賽人共有2485人,請(qǐng)你估算今年參加航模比賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)約是多少人?
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