Question

（本題滿分12分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交與A（4，0），并且OA＝OC＝4OB，點P為過A、B、C三點的拋物線上一動點．

（1）求點B、點C的坐標并求此拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以點C為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

Answer 1

（1）B（－1,0）；C（0,4）；；（2）P（2,6）；（3）點或

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點A的坐標和OA=OC=4OB求出點B和點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）過點C作CP⊥AC，過點P作PM垂直y軸，設出點P的坐標，根據(jù)OM=OC+MC=OC+PM=4+m列出方程求出m的值；（3）四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，據(jù)垂線段最短，可知：當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短.根據(jù)（1）求出AC的長度，根據(jù)中點得出點P的縱坐標，列出關于x的方程，求出x的值.

試題解析：（1）∵A（4，0） ∴OA=4 又∵OA=OC=4OB ∴OC=4，OB=1

∴B（-1，0），C（0，4） 設拋物線的解析式為：

把C（0，4）代入得： ∴ ∴

∴拋物線的解析式為：

（2）存在 過點C作.交拋物線于點，過點作軸于點M.

∵ ∴ 又∵ ∴

∴ ∴

∵在拋物線上. ∴設

∴

∴ ∴ ∴

∴ ∴

（3）連OD，由題意知，四邊形OFDE是矩形，則，據(jù)垂線段最短，可知：當時，OD最短，即EF最短.

由（1）知，在Rt△AOC中， ∴

又∵D為AC的中點. ∴DF∥OC ∴ ∴點P的縱坐標是2.

∴ ∴ ∴當EF最短時，點或

考點：二次函數(shù)的性質(zhì).