【題目】將拋物線c1 沿x軸翻折,得到拋物線c2 , 如圖1所示.

(1)請直接寫出拋物線c2的表達式;
(2)現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度,平移后得到新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為A、B;將拋物線c2向右也平移m個單位長度,平移后得到新拋物線的頂點為N,與x軸的交點從左到右依次為D、E.
①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點時,求m的值;②在平移過程中,是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形?若存在,請求出此時m的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:y= x2


(2)

解:①如圖1,令﹣ x2+ =0,得x1=﹣1,x2=1

則拋物線c1與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(﹣1,0),(1,0).

∴A(﹣1﹣m,0),B(1﹣m,0).

同理可得:D(﹣1+m,0),E(1+m,0).

當(dāng)AD= AE時,

(﹣1+m)﹣(﹣1﹣m)= [(1+m)﹣(﹣1﹣m)],

∴m=

當(dāng)BD= AE時,

(﹣1+m)﹣(1﹣m)= [(1+m)﹣(﹣1﹣m)],

∴m=2.

故當(dāng)B,D是線段AE的三等分點時,m= 或2.

②存在.

理由:如圖2,連接AN,NE,EM,MA.

依題意可得:M(﹣m, ),N(m,﹣ ).

即M,N關(guān)于原點O對稱,

∴OM=ON.

∵A(﹣1﹣m,0),E(1+m,0),

∴A,E關(guān)于原點O對稱,

∴OA=OE

∴四邊形ANEM為平行四邊形.

∵AM2=(﹣m+1+m)2+( 2=4,

ME2=(1+m+m)2+( 2=4m2+4m+4,

AE2=(1+m+1+m)2=4m2+8m+4,

若AM2+ME2=AE2,則4+4m2+4m+4=4m2+8m+4,

∴m=1,

此時△AME是直角三角形,且∠AME=90°.

∴當(dāng)m=1時,以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形.


【解析】(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)可求拋物線c2的表達式;(2)①求出拋物線c1與x軸的兩個交點坐標(biāo),分當(dāng)AD= AE時,當(dāng)BD= AE時兩種情況討論求解;②存在.理由:如圖2,連接AN,NE,EM,MA.根據(jù)矩形的判定即可得出.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

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①當(dāng)t=1時,AP的長為   ,點P表示的有理數(shù)為   

②當(dāng)PB=2時,求t的值;

(2)如果動點P以每秒6個單位長度的速度從O點向右運動,點AB分別以每秒1個單位長度和每秒3個單位長度的速度向右運動,且三點同時出發(fā),那么經(jīng)過幾秒PA=2PB.

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“我最喜愛的圖書”各類人數(shù)統(tǒng)計圖

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