Question

如圖已知AB是⊙O的直徑，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．
①求證：AG=GD；
②當∠ABC滿足什么條件時，△DFG是等邊三角形？
③若AB=10，sin∠ABD=，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：連接AD，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴=，
∴∠ADE=∠ABD，
∵弦BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AG=GD；

（2）解：當∠ABC=60°時，△DFG是等邊三角形．
理由：∵弦BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=30°，
∴∠DFG=∠FAB+∠DBA=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DGF=∠AGH=90°-∠CAB=60°，
∴△DGF是等邊三角形；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠DBC=∠ABD，
∵AB=10，sin∠ABD=，
∴在Rt△ABD中，AC=AB•sin∠ABD=6，
∴AD==8，
∴tan∠ABD==，cos∠ABD==，
在Rt△ADF中，DF=AD•tan∠DAF=AD•tan∠ABD=6×=，
∴BF=BD-DF=8-=，
∴在Rt△BCF中，BC=BF•cos∠DBC=BF•cos∠ABD=×=．
∴BC的長為：．
分析：（1）首先連接AD，由DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，根據(jù)垂徑定理，即可得=，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得∠ADE=∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，易證得∠ADE=∠DAC，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，即可證得AG=GD；
（2）當∠ABC=60°時，△DFG是等邊三角形，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角與三角形外角的性質(zhì)，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可證得結(jié)論；
（3）利用三角函數(shù)的性質(zhì)，等角的三角函數(shù)值相等，即可求得答案．
點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用，注意輔助線的作法．