Question

【題目】如圖，頂點為M的拋物線y=a(x+1)2-4分別與x軸相交于點A，B(點A在點B的)右側(cè))，與y軸相交于點C(0，﹣3)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由．

(3)拋物線上是否存在點N(不與點C重合)，使得以點A，B，N為頂點的三角形的面積與S△ABC的面積相等？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析；(3)存在，(，3)，(，3)，(，)

【解析】

(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
(2)由拋物線解析式確定出拋物線的頂點坐標和與x軸的交點坐標，用勾股定理的逆定理即可；
(3)根據(jù)題意得出，然后求出，再代入求解即可．

(1)∵拋物線與軸相交于點C(0，-3)．
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
(2)△BCM是直角三角形，
理由：由(1)有，拋物線解析式為，
∴頂點為M的坐標為(-1，-4)，
由(1)拋物線解析式為，
令，，
∴，
∴點A的坐標為(1，0)，點B的坐標為(-3，0)，
∴，

，

=，

∵，

∴，
∴△BCM是直角三角形，

(3)設(shè)N點縱坐標為，

根據(jù)題意得，即，

∴，

當N點縱坐標為3時，，

解得：

當N點縱坐標為-3時，，

解得：(與點C重合，舍去)，

∴N點坐標為(，3)，(，3)，(，)，