(2013•黃陂區(qū)模擬)正△ABC的兩邊上的點M,N滿足BM=AN,BN交于CN于點E
(1)求證:BM2=ME•MC;
(2)△BCE沿著BC向下翻折到△BCF,延長CF和BF交AB于P,交AC于K,若正△ABC邊長是10,求BP•CK的值;
(3)當(dāng)E為BN的中點時,
BM
MA
=
5
-1
2
5
-1
2
(直接寫出比值)
分析:(1)首先證明△ABN≌△BCM,得出∠ABN=∠BCM,進(jìn)一步證明△BEM∽△CBM,問題得證;
(2)利用折疊,得出∠NBC=∠KBC,∠MCB=∠PCB,進(jìn)一步證得△PCB∽△BCK,得出BP•CK的值即可買;
(3)由△BME∽△BCM,得出
BM
MC
=
BE
EC
,△CNE∽△CAM,得出
CN
MC
=
NE
AM
,E為BN的中點,則BE=NE,把兩個比例式相除,得出
BM
CN
=
AM
BC
,結(jié)合BM=AN求出BM的長度,求出AM的長度,求得比值即可.
解答:(1)證明:如圖,

在△ABN和△BCM中,
AB=BC
∠A=∠CBM=60°
AN=BM

∴△ABN≌△BCM(SAS),
∴∠ABN=∠BCM,
又∵∠BME=∠CMB,
∴△BEM∽△CBM,
BM
ME
=
MC
BM

即BM2=ME•MC;

 (2)解:如圖,

△BCE沿著BC向下翻折到△BCF,
∴∠NBC=∠KBC,∠MCB=∠PCB,
又∵∠ABN=∠BCM,
∴∠ABN=∠BCM=∠PCB,
∠ABN+∠NBC=60°,∠PCB+∠BPC=60°
∴∠BPC=∠NBC=∠KBC,
∴△PCB∽△BCK,
PB
BC
=
BC
CK
,BC=10,
即BP•CK=10×10=100;

(3)由△BME∽△BCM,
BM
MC
=
BE
BC
,①
同理△CNE∽△CAM,
CN
MC
=
NE
AM
,②
又∵E為BN的中點,則BE=NE,
①②相除得,
BM
CN
=
AM
BC
,
BM
10-BM
=
10-BM
10
,
解得BM=15+5
5
(不合題意,舍去),或15-5
5
;
則AM=10-BM=5
5
-5,
BM
AM
=
5
-1
2
點評:此題考查三角形全等的判定與性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì),翻折等知識點,是比較綜合的題目.
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(3)MN=
2
,MN是直線y=-x上的一條動線段,當(dāng)四邊形AMNC的周長最小時,求N的坐標(biāo).

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