Question

【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：

如圖，△ABC≌△DEF（點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)），AB＝AC．現(xiàn)將△ABC與△DEF按如圖所示的方式疊放在一起，現(xiàn)將△ABC保持不動(dòng), △DEF運(yùn)動(dòng)，且滿足點(diǎn)E在BC邊從B向C移動(dòng)（不與B、C重合），DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC邊交于點(diǎn)M．求證：△ABE∽△ECM．

（1）請(qǐng)解答老師提出的問題．

（2）受此問題的啟發(fā)，小明將△DEF繞點(diǎn)E按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， DE、EF分別交線段AB、AC邊于點(diǎn)N、M，連接MN，如圖2，當(dāng)EB=EC時(shí)，小明猜想△NEM與△ECM相似．小明的猜想正確嗎？請(qǐng)你作出判斷，并說(shuō)明理由.

（3）在（2）的條件下，以E為圓心，作⊙E，使得AB與⊙E相切，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出⊙E，并判斷直線MN與⊙E的位置關(guān)系，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）小明是猜想是正確的，即△NEM∽△ECM；（3）直線MN與⊙E的位置關(guān)系是相切．

【解析】

（1）證明：由如圖1，△ABC≌△DEF（點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)），AB＝AC，

得∠ABE=∠ECM，又∠AEC=∠ABE+∠BAE=∠AEC+∠CEM,

所以∠BAE=∠CEM,所以△ABE∽△ECM．

(2)小明是猜想是正確的，即△NEM∽△ECM

理由如下：同（1）可證得，△NBE∽△ECM，所以∠BNE=∠CEM,

又BE=CE，所以

又∠C=∠NEM

所以△NEM∽△ECM

（3）直線MN與⊙E的位置關(guān)系是相切．

理由如下：由（2）知，∠BNE=∠CEM,∠ENM=∠CEM,

所以∠BNE=∠ENM.

過E點(diǎn)做EH⊥MN于H，⊙E 與AB切于G點(diǎn)，由于E點(diǎn)在∠BNM 的平分線上，EH=GE,所以點(diǎn)H在⊙E上，所以MN是⊙E的切線，直線MN與⊙E的位置關(guān)系是相切．