Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D，E、F分別為BC、AB上的點，AE⊥CF于點G，交CD于點H.

（1）求證：AH=CF；

（2）若CE=BF，求證：BE=2DH.

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）要證明AH=CF，只需要證明△ADH≌△CDF即可；（2）因為點D是AB的中點，所以要證明BE=2DH成立，只需取AE的中點M,連接DM,然后證明中位線DM=DH即可.

試題解析：證明:（1）∵∠DCF+∠GFD=90°，∠DAH+∠GFD=90°，∴∠DCF=∠DAH

在△ADH和△CDF中

∴△ADH≌△CDF

∴AH=CF （5分）

（2）取AE的中點M,連接DM,

∵AD=DB,

∴BE=2DM,且DM∥BC

∴∠DMH=∠CEH。

∵△ADH≌△CDF，∴DH=DF,

又∵CD=DB，∴CH=BF=CE，∴∠CHE=∠CEH,

∴∠DMH=∠CEH=∠CHE=∠DHM

∴DM=DH，∴BE=2DM=2DH. （10分）

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.三角形的中位線.