Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C = 90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，連接OD，點E在BC上， B E=DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若BC=6，求線段DE的長；

（3）若∠B=30°,AB =8,求陰影部分的面積（結(jié)果保留）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3；（3）

【解析】

（1）根據(jù)OA=OD，BE=DE，得∠A=∠1，∠B=∠2，根據(jù)∠ACB=90°，即可得∠1+∠2=90°，即可得OD⊥DE，從而可證明結(jié)論；

（2）連接CD，根據(jù)現(xiàn)有條件推出CE是⊙O的切線，再結(jié)合DE是⊙O的切線，推出DE＝CE又BE=DE，即可得出DE；

（3）過O作OG⊥AD，垂足為G，根據(jù)已知條件推出AD，AG和OG的值，再根據(jù)，即可得出答案．

解：（1）證明：∵OA=OD，BE=DE，

∴∠A=∠1，∠B=∠2，

∵△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠ODE=180°-(∠1+∠2)=90°，

∴OD⊥DE，又OD為⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接CD，則∠ADC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，又AC為⊙O的直徑，

∴CE是⊙O的切線，又DE是⊙O的切線，

∴DE＝CE又BE=DE，

∴DE＝CE=BE＝；

（3）過O作OG⊥AD，垂足為G，則，

∵Rt△ABC中，∠B=30°，AB=8，

∴AC=，∠Ａ=60°（又OA=OD)，

∴∠COD=120°，△AOD為等邊三角形，

∴AD=AO=OD=2，

∴，

∴OG，

∴，

∴陰影部分的面積為．