Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P是位于直線BC上方拋物線上的一個動點，求△BPC面積的最大值；

（3）若點D是y軸上的一點，且以B,C,D為頂點的三角形與相似，求點D的坐標；

（4）若點E為拋物線的頂點，點F（3，a)是該拋物線上的一點，在軸、軸上分別找點M、N，使四邊形EFMN的周長最小，求出點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△BPC面積的最大值為 ；（3）D的坐標為（0，1）或（0，）；（4）M（，0），N（0，）

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-5）=a（x2-4x-5），即-5a=5，解得：a=-1，即可求解；

（2）利用S△BPC=×PH×OB=（-x2+4x+5+x-5）=（x-）2+，即可求解；

（3）B、C、D為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況，分別求解即可；

（4）作點E關(guān)于y軸的對稱點E′（-2，9），作點F（2，9）關(guān)于x軸的對稱點F′（3，-8），連接E′、F′分別交x、y軸于點M、N，此時，四邊形EFMN的周長最小，即可求解．

解：（1）把，分別代入得：

∴

∴拋物線的表達式為：．

（2）如圖，過點P作PH⊥OB交BC于點H

令x=0，得y=5

∴C（0，5），而B（5，0）

∴設(shè)直線BC的表達式為：

∴

∴

設(shè)，則

∴

∴

∴

∴△BPC面積的最大值為．

（3）如圖，∵ C（0，5），B（5，0）

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°

∴AB=6，BC=

要使△BCD與△ABC相似

則有或

①當時

∴

則

∴D（0，）

② 當時，

CD=AB=6，

∴D（0，1）

即：D的坐標為（0，1）或（0，）

（4）∵

∵E為拋物線的頂點，

∴E（2，9）

如圖，作點E關(guān)于y軸的對稱點E'（﹣2，9），

∵span>F（3，a）在拋物線上，

∴F（3，8），

∴作點F關(guān)于x軸的對稱點F'（3，8），

則直線E' F'與x軸、y軸的交點即為點M、N

設(shè)直線E' F'的解析式為：

則

∴

∴直線E' F'的解析式為：

∴，0），N（0，）．