Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（3，0），點B（0，3），點O為原點．動點C、D分別在直線AB、OB上，將△BCD沿著CD折疊，得△B'CD．

（Ⅰ）如圖1，若CD⊥AB，點B'恰好落在點A處，求此時點D的坐標；

（Ⅱ）如圖2，若BD=AC，點B'恰好落在y軸上，求此時點C的坐標；

（Ⅲ）若點C的橫坐標為2，點B'落在x軸上，求點B'的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）D（0，）；（2）C（12﹣6，12﹣18）；（3）B'（2+，0），（2﹣，0）.

【解析】

(1)設OD為x，則BD=AD=3，在RT△ODA中應用勾股定理即可求解；

(2)由題意易證△BDC∽△BOA，再利用A、B坐標及BD=AC可求解出BD長度，再由特殊角的三角函數即可求解；

(3)過點C作CE⊥AO于E，由A、B坐標及C的橫坐標為2，利用相似可求解出BC、CE、OC等長度；分點B’在A點右邊和左邊兩種情況進行討論，由翻折的對稱性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函數可逐一求解.

（Ⅰ）設OD為x，

∵點A（3，0），點B（0，），

∴AO=3，BO=

∴AB=6

∵折疊

∴BD=DA

在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．

∴9+OD2=（﹣OD）2．

∴OD=

∴D（0，）

（Ⅱ）∵折疊

∴∠BDC=∠CDO=90°

∴CD∥OA

∴且BD=AC，

∴

∴BD=﹣18

∴OD=﹣（﹣18）=18﹣

∵tan∠ABO=，

∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°

∵tan∠ABO=，

∴CD=12﹣6

∴D（12﹣6，12﹣18）

（Ⅲ）如圖：過點C作CE⊥AO于E

∵CE⊥AO

∴OE=2，且AO=3

∴AE=1，

∵CE⊥AO，∠CAE=60°

∴∠ACE=30°且CE⊥AO

∴AC=2，CE=

∵BC=AB﹣AC

∴BC=6﹣2=4

若點B'落在A點右邊，

∵折疊

∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA

∴B'E=

∴OB'=2+

∴B'（2+，0）

若點B'落在A點左邊，

∵折疊

∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA

∴B'E=

∴OB'=﹣2

∴B'（2﹣，0）

綜上所述：B'（2+，0），（2﹣，0）