Question

如圖，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，將△ECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，連接AM，BN．

（1）求證：AM=BN；

（2）當(dāng)MA∥CN時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角α的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，

∴CE=CF，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，

在△AMC和△BNC中，

，

∴△AMC≌△BNC，

∴AM=BN；

（2）∵M(jìn)A∥CN，

∴∠ACN=∠CAM，

∵∠ACN+∠ACM=90°，

∴∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠AMC=90°，

∴cosα===．