分析:(1)已知了拋物線的頂點橫坐標(biāo)為1,即x=-
=1,將已知的兩點坐標(biāo)代入拋物線中,聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式.
(2)本題要分兩種情況討論:△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,解題思路都是通過相似三角形得出的關(guān)于BD、BC、BO、BA的比例關(guān)系式求出BD的長,然后根據(jù)∠OBC=45°的特殊條件用BD的長求出D點的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標(biāo)為1,且過點(2,3)和(-3,-12),
∴由
,
解得
,
∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x
2+2x+3;
(2)假設(shè)存在直線l:y=kx(k≠0)與線段BC交于點D(不與點B,C重合),使得以B,O,D為頂點的三角形與△BAC相似.
在y=-x
2+2x+3中,令y=0,則由-x
2+2x+3=0,
解得x
1=-1,x
2=3
∴A(-1,0),B(3,0)
令x=0,得y=3.
∴C(0,3).
設(shè)過點O的直線l交BC于點D,過點D作DE⊥x軸于點E.
∵點B的坐標(biāo)為(3,0),點C的坐標(biāo)為(0,3),點A的坐標(biāo)為(-1,0).
∴|AB|=4,|OB|=|OC|=3,∠OBC=45°.
∴|BC|=
=3
.
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,
已有∠B=∠B,則只需
=,①或
=②成立.
若是①,則有|BD|=
=
=
.
而∠OBC=45°,
∴|BE|=|DE|.
∴在Rt△BDE中,由勾股定理,
得|BE|
2+|DE|
2=2|BE|
2=|BD|
2=(
)
2解得|BE|=|DE|=
(負(fù)值舍去).
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
=
∴點D的坐標(biāo)為(
,
)
將點D的坐標(biāo)代入y=kx(k≠0)中,求得k=3,
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=3x,
或求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3,則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=3x,
此時易知△BOD∽△BAC,再求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3.聯(lián)立y=3x,y=-x+3求得點D的坐標(biāo)為(
,
),
若是②,則有|BD|=
=
=2
,
而∠OBC=45°,
∴|BE|=|DE|,
∴在Rt△BDE中,由勾股定理,
得|BE|
2+|DE|
2=2|BE|
2=|BD|
2=(2
)
2解得|BE|=|DE|=2(負(fù)值舍去)
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1.
∴點D的坐標(biāo)為(1,2).
將點D的坐標(biāo)代入y=kx(k≠0)中,求得k=2.
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x.
∴存在直線l:y=3x或y=2x與線段BC交于點D(不與點B,C重合),
使得以B,O,D為頂點的三角形與△BAC相似,且點D的坐標(biāo)分別為(
,
)或(1,2).