【題目】點(diǎn)C為線段上一點(diǎn),以為斜邊作等腰,連接,在外側(cè),以為斜邊作等腰,連接.
(1)如圖1,當(dāng)時(shí):
①求證:;
②判斷線段與的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)如圖2,當(dāng)時(shí),與的數(shù)量關(guān)系是否保持不變?
對(duì)于以上問(wèn)題,小牧同學(xué)通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn),形成了解決該問(wèn)題的幾種思路:
想法1:嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,過(guò)點(diǎn)D作線段垂線,交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接;通過(guò)證明解決以上問(wèn)題;
想法2:嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,過(guò)點(diǎn)D作線段垂線,垂足為點(diǎn)G,連接.通過(guò)證明解決以上問(wèn)題;
想法3:嘗試?yán)盟狞c(diǎn)共圓,過(guò)點(diǎn)D作垂線段,連接,通過(guò)證明D、F、B、E四點(diǎn)共圓,利用圓的相關(guān)知識(shí)解決以上問(wèn)題.
請(qǐng)你參考上面的想法,證明(一種方法即可).
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②,證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)①如圖(見(jiàn)解析),先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出,再根據(jù)等腰三角形的三線合一得出是斜邊AC上的中線,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì),最后根據(jù)等量代換即可得證;
②先結(jié)合①的結(jié)論、等腰直角三角形的性質(zhì),,,再根據(jù)角的和差、直角三角形的性質(zhì)得出,然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得出,由此即可證出;
(2)想法1:先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差得出,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得,從而可得,最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證;
想法2:先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、角的和差得出,,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出,從而可得平分,然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得是的垂直平分線,最后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換即可得證;
想法3:先根據(jù)垂直的定義、等腰直角三角形的定義得出,,從而可得,由此可證出D、F、B、E四點(diǎn)共圓,再根據(jù)圓周角定理可得,然后同想法2的方法即可得證.
(1)①過(guò)點(diǎn)D作于F
是等腰三角形
是斜邊AC上的中線(等腰三角形的三線合一)
;
②,證明如下:
等腰與等腰中
,,
是等邊三角形
;
(2)想法1:如圖,過(guò)點(diǎn)D作線段垂線,交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接
是等腰直角三角形
,,
,即
是等腰直角三角形
,即
在和中,
是直角三角形
點(diǎn)E是BG的中點(diǎn),即CE是斜邊BG上的中線
;
想法2:如圖,過(guò)點(diǎn)D作線段垂線,垂足為點(diǎn)G,連接
是等腰直角三角形
,,,
是等腰直角三角形
,即
是等腰直角三角形
,,,即
在和中,
平分
是等腰直角三角形
是的垂直平分線(等腰三角形的三線合一)
即;
想法3:如圖,過(guò)點(diǎn)D作垂線段,連接
是等腰直角三角形
,,
D、F、B、E四點(diǎn)共圓
同想法2可證:是的垂直平分線
即.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市在黨中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號(hào)召下,大力開(kāi)展科技扶貧工作,幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷(xiāo)售公司,某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件,該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖①所示);該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)z(元/件)與年銷(xiāo)售量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段,生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷(xiāo)售完,達(dá)到產(chǎn)銷(xiāo)平衡,所獲毛利潤(rùn)為w萬(wàn)元.(毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用)
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;并求年產(chǎn)量多少萬(wàn)件時(shí),所獲毛利潤(rùn)最大?最大毛利潤(rùn)是多少?
(3)由于受資金的影響,今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會(huì)超過(guò)360萬(wàn)元,今年最多可獲得多少萬(wàn)元的毛利潤(rùn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為:“一切平面圖形中最美的是圓”.請(qǐng)研究如下美麗的圓.如圖,線段AB是⊙O的直徑,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C,使BC=OB,點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn),DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接CD,PE,PC.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)小明在研究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)是一個(gè)確定的值.回答這個(gè)確定的值是多少?并對(duì)小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】教育未來(lái)指數(shù)是為了評(píng)估教育系統(tǒng)在培養(yǎng)學(xué)生如何應(yīng)對(duì)快速多變的未來(lái)社會(huì)方面所呈現(xiàn)的效果.現(xiàn)對(duì)教育未來(lái)指數(shù)得分前35名的國(guó)家和地區(qū)的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析后,給出了部分信息.
a.教育未來(lái)指數(shù)得分的頻數(shù)分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組:,,,,,,);
b.教育未來(lái)指數(shù)得分在這一組的是:61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5
c.35個(gè)國(guó)家和地區(qū)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來(lái)指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖如下:
d.中國(guó)和中國(guó)香港的教育未來(lái)指數(shù)得分分別為32.9和68.5.
(以上數(shù)據(jù)來(lái)源于《國(guó)際統(tǒng)計(jì)年鑒(2018)》和國(guó)際在線網(wǎng))
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)中國(guó)香港的教育未來(lái)指數(shù)得分排名世界第______;
(2)在35個(gè)國(guó)家和地區(qū)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來(lái)指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖中,包括中國(guó)香港在內(nèi)的少數(shù)幾個(gè)國(guó)家和地區(qū)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛線l的上方,請(qǐng)?jiān)趫D中用“○”畫(huà)出代表中國(guó)香港的點(diǎn);
(3)在教育未來(lái)指數(shù)得分比中國(guó)高的國(guó)家和地區(qū)中,人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的最大值約為_____萬(wàn)美元;(結(jié)果保留一位小數(shù))
(4)下列推斷合理的是__________.(只填序號(hào)即可)
①相較于點(diǎn)所代表的國(guó)家和地區(qū),中國(guó)的教育未來(lái)指數(shù)得分還有一定差距,“十三五”規(guī)劃提出“教育優(yōu)先發(fā)展,教育強(qiáng)則國(guó)家強(qiáng)”的任務(wù),進(jìn)一步提高國(guó)家教育水平;
②相較于點(diǎn)所代表的國(guó)家和地區(qū),中國(guó)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值還有一定差距,中國(guó)提出“決勝全面建成小康社會(huì)”的奮斗目標(biāo),進(jìn)一步提高人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是“作一個(gè)角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:平面內(nèi)一點(diǎn)A.
求作:,使得.
作法:如圖,
(1)作射線;
(2)在射線取一點(diǎn)O,以O為圓心,為半徑作圓,與射線相交于點(diǎn)C;
(3)以C為圓心,C為半徑作弧,與交于點(diǎn)D,作射線.
則即為所求的角.
請(qǐng)回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是_________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小文設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過(guò)程.已知:和圓外一點(diǎn).求作:過(guò)點(diǎn)的的切線.作法:①連接;②以為直徑作,交于點(diǎn),;③作直線,;所以直線,為的切線.
根據(jù)小文設(shè)計(jì)的作圖過(guò)程,完成下面的證明.
證明:連接,.
∵為的直徑,
∴=∠________=________
(________)(填推理的依據(jù)).
∴,________.
∵,為
∴直線,為的切線(________)(填推理的依據(jù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑是2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( 。
A.π﹣2B.π﹣C.π﹣2D.π﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=2,∠B=30°,△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<120°)得到,與BC,AC分別交于點(diǎn)D,E.設(shè),的面積為,則與的函數(shù)圖象大致為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn),是線段的中點(diǎn),連接,則線段的最小值是( )
A.B.C.D.
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