Question

如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)=O和=4時，y的值相等。直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M。

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)P為線段OM上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥軸于點(diǎn)Q。若點(diǎn)P在線段OM上運(yùn)動（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合，但可以與點(diǎn)M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值并指出點(diǎn)Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；

(4)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）S=2t²+4t,＜≤（3）點(diǎn)在線段的中點(diǎn)上，16，平行四邊形（4）

【解析】解：（1）∵當(dāng)和時，的值相等，∴，……1分

∴，∴

將代入，得，

將代入，得………………………………………….2分

∴設(shè)拋物線的解析式為

將點(diǎn)代入，得，解得.

∴拋物線，即……………………………..3分

(2)設(shè)直線OM的解析式為，將點(diǎn)M代入，得，

∴……………………………………………………………………..4分

則點(diǎn)P,,而,.

=.......................5分

的取值范圍為：＜≤.......................................6分

（1）隨著點(diǎn)的運(yùn)動，四邊形的面積有最大值.

   從圖像可看出，隨著點(diǎn)由→運(yùn)動，的面積與的面積在不斷增大,即不斷變大，顯當(dāng)然點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，有最值...............7分

   此時時，點(diǎn)在線段的中點(diǎn)上............. ................8分

  因而.

  當(dāng)時，,∥,∴四邊形是平行四邊形. ..9分

(4)隨著點(diǎn)的運(yùn)動，存在，能滿足.................10分

   設(shè)點(diǎn)，，. 由勾股定理，得.

   ∵,∴，＜，(不合題意)

   ∴當(dāng)時，...................................11分

（1）x=O和x=4時，y的值相等，即可得到函數(shù)的對稱軸是x=2，把x=2和x=3分別代入直線y=4x-16就可以求出拋物線上的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，并且其中一點(diǎn)是頂點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式一般形式，就可以求出函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法可以求出直線OM的解析式，設(shè)OQ的長為t，即P，Q的橫坐標(biāo)是t，把x=t代入直線OM的解析式，就可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到PQ的長，四邊形PQCO的面積S=S_△COQ+S_△OPQ，很據(jù)三角形的面積公式就可以得到函數(shù)解析式；

（3）從圖象可看出，隨著點(diǎn)P由O→M運(yùn)動，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，即S不斷變大，顯當(dāng)然點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)M時，S最值；

（4）在直角△OPQ中，根據(jù)勾股定理就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．