Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交線段DE的延長(zhǎng)線相交于F點(diǎn)，取AF的中點(diǎn)G，如果BC=2AB．
求證：（1）四邊形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)三角形的中位線定理，得DE∥AB，結(jié)合AF∥BC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判斷該四邊形是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可以進(jìn)一步得到△FGD≌△FEA，則GD=AE，即可證明結(jié)論．

解答：證明：（1）∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線（三角形中位線的定義），
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB（三角形中位線性質(zhì)）．（1分）
∵AF∥BC，
∴四邊形ABDF是平行四邊形（平行四邊形定義）．（1分）
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD．（1分）
∴四邊形ABDF是菱形．（1分）

（2）∵四邊形ABDF是菱形，
∴AF=AB=DF（菱形的四條邊都相等）．
∵DE=

1

2

AB，
∴EF=

1

2

AF．（1分）
∵G是AF的中點(diǎn)．
∴GF=

1

2

AF，
∴GF=EF．（1分）
∴△FGD≌△FEA，（1分）
∴GD=AE，
∵AC=2EC=2AE，
∴AC=2DG．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了三角形的中位線定理、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．