Question

（2012•海門(mén)市一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=3，當(dāng)CQ=

5

3

時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最�。�

Answer 1

分析：點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位到M，點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接MF，交BC于Q，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，只要AP+EQ最小就行，證△MNQ∽△FCQ即可．

解答：解：點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位到M，點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接MF，交BC于Q，
此時(shí)MQ+EQ最小，
∵PQ=3，DE=CE=2，AE=

82+22

=2

17

，
∴要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ=MQ+EQ過(guò)M作MN⊥BC于N，
設(shè)CQ=x，則NQ=8-3-x=5-x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴

MN

CF

=

NQ

CQ

∵M(jìn)N=AB=4，CF=CE=2，CQ=x，QN=5-x，
解得：x=

5

3

，則CQ=

5

3

故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，但是一道難度偏大的題目，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．