Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將射線(xiàn)AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，所得射線(xiàn)與線(xiàn)段BD交于點(diǎn)M，作CE⊥AM于點(diǎn)E，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)CE對(duì)稱(chēng)，連接CN．

（1）如圖，當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)：

①依題意補(bǔ)全圖；

②用等式表示∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系：___________；

（2）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，探究∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（3）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，若邊AD的中點(diǎn)為F，直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①補(bǔ)圖見(jiàn)解析；②∠NCE＝2∠BAM；（2）∠NCE+∠BAM＝90°，證明見(jiàn)解析；（3）1+．

【解析】

（1）作CE⊥AM于點(diǎn)E，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)CE對(duì)稱(chēng)，連接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一點(diǎn)，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)CE對(duì)稱(chēng)，可得CN＝CM，即可得到∠NCE＝∠MCE，進(jìn)而得出∠NCE＝2∠BAM；

（2）連接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM＝∠DCM，再根據(jù)∠DAQ＝∠ECQ，即可得到∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，即，再根據(jù)∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，即可得到；

（3）依據(jù)∠CEA＝90°，即可得到點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，即可得出線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最大值．

（1）①補(bǔ)全的圖形如圖所示：

②∠NCE＝2∠BAM．理由如下：

如圖1，連接MC．

∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM．

∵BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM．

∵∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一點(diǎn)，∴∠BAM＝∠BCE，∴∠MCE＝2∠BAM．

∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)CE對(duì)稱(chēng)，∴CN＝CM，∴∠NCE＝∠MCE，∴∠NCE＝2∠BAM．

故答案為：∠NCE＝2∠BAM．

（2）．理由如下：

如圖，連接CM．

∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠DAM＝∠DCM．

∵∠ADQ＝∠CEQ＝90°，∠AQD＝∠CQE，∴∠DAQ＝∠ECQ，∴∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，∴．

∵∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，∴．

（3）如圖，∵∠CEA＝90°，∴點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上，O為圓心，由題可得：OFCD＝1，OE＝OCAC．

∵OE+OF≥EF，∴當(dāng)EF經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，．