Question

【題目】如圖1矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合），連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB延長線于點(diǎn)F，連接EF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接BG．

（1）求證：△ADE∽△ABF；

（2）若AB＝20，AD＝10，設(shè)DE＝x，點(diǎn)G到直線BC的距離為y．

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)時(shí)，x的值為　 　；

（3）如圖2，若AB＝BC，設(shè)四邊形ABCD的面積為S，四邊形BCEG的面積為S1，當(dāng)時(shí)，DE：DC的值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．

（2）①如圖1中，作GH⊥BF于H．利用三角形的中位線定理，推出EC＝2y，再根據(jù)DE+EC＝20，即可解決問題．

②由，可以假設(shè)EC＝24k，BG＝13k，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出k即可解決問題．

（3）如圖2中，連接BE，設(shè)DE＝a，CD＝BC＝b．構(gòu)建一元二次方程，即可解決問題．

解：（1）證明：如圖1中，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，

∴∠EAF＝∠BAD，

∴∠FAB＝∠DAE，

∵∠ABF＝∠D＝90°，

∴△ADE∽△ABF．

（2）①如圖1中，作GH⊥BF于H．

∵∠GHF＝∠C＝90°，

∴GH∥EC，

∵FG＝GE，

∴FH＝HC，

∴EC＝2GH＝2y，

∵DE+EC＝CD＝AB＝20，

∴x+2y＝20，

∴y＝﹣x+10（0＜x＜20）．

②∵，

∴可以假設(shè)EC＝24k，BG＝13k，

∵EC＝2GH，

∴GH＝12k，

∴

∴FH＝CH＝5k+10，

∴FB＝10k+10，

∵

∴x＝20﹣24k，

∵△ADE∽△ABF，

∴

∴

∴k＝

∴x＝

故答案為：

（3）如圖2中，連接BE，設(shè)DE＝a，CD＝BC＝b．

易證△ADE≌△ABF，可得BF＝DE＝a，

∴

∵S＝b2，S＝4S1，

∴b2＝2b2﹣a2﹣ab，

∴a2+ab﹣b2＝0，

∴

∴或（舍棄），

∴

故答案為: