選做題
已知如圖,△ABC為直角三角形紙片,∠C=90°,AC≤BC,將紙片沿EF折疊,使A點(diǎn)精英家教網(wǎng)落在BC上D點(diǎn),若△DCE和△FBD都是等腰三角形,
(1)則∠B=
 
;
(2)若△DFE和△FBD都是等腰三角形,求∠B.
分析:首先確定△BDF不是以DF=BF為腰的等腰三角形,由折疊的性質(zhì)可得DF=AF,如果DF=FB,那么則可得DF=AF=FB,這是不可能的,如果AF=FB,那么應(yīng)該滿足CF=AF=FB,而CF≠DF,故這種情況不可能.
(1)由△DEC是等腰三角形可得出∠CED=∠CDE=45°,設(shè)∠B=x,①若BD=BF,可得∠BDF=∠BFD=
1
2
(180°-x),繼而可得出∠EDF=∠A的度數(shù),根據(jù)∠A+∠B=90°可解出x.②若DF=BD,可得∠EDF=∠A=2x-45°,根據(jù)∠A+∠B=90°可解出x.
(2)分情況進(jìn)行討論,①AE=AF,DF=DB,②AE=AF,BD=BF,③EA=EF,DF=DB,④EA=EF,BD=BF,⑤FE=FA,DF=DB,⑥FE=FA,BD=BF,這幾種情況下,分別表示出∠B及∠EFA,的度數(shù),利用平角AFB等于180°列方程可得出答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)①若BD=BF,
由△DEC是等腰三角形可得出∠CED=∠CDE=45°,
設(shè)∠B=x,可得∠BDF=∠BFD=
1
2
(180°-x),
∴∠EDF=45°+
1
2
x=∠A,
又∵∠A+∠B=90°,
∴45°+
1
2
x+x=90°,
解得:x=30°.即此時(shí)∠B=30°.
②若DF=BD,
則∴∠EDF=2x-45°=∠A,
∴2x-45°+x=90°,
解得:x=45°.

(2)設(shè)∠B=x,
①AE=AF,DF=DB,
則∠DFB=∠B=x,∠A=90°-x,
∴∠AEF=∠AFE=∠EFD=
90°+x
2
,
則x+2×
90°+x
2
=180°,解得x=45°;
②AE=AF,BD=BF,則∠AEF=∠AFE=∠EFD=
90°+x
2
,∠DFB=
180°-x
2

180°-x
2
+2×
90°+x
2
=180°,解得x=0,不符合題意;
③EA=EF,DF=DB,則∠A=∠EFA=90°-x,∠DFB=∠B=x,
則2(90°-x)+x=180°,解得x=0,不符合題意;
④EA=EF,BD=BF,則∠A=∠EFA=90°-x,∠DFB=
180°-x
2
,
則2(90°-x)+
180°-x
2
=180°,解得x=36°.
⑤FE=FA,DF=DB,則∠EFA=2x,∠DFB=∠B=x,
則5x=180°,解得x=36°;
⑥FE=FA,BD=BF,則∠EFA=2x,∠DFB=
180°-x
2
,
則4x+
180°-x
2
=180°,解得x=
180
7
°.
綜上可得∠B=45°或36°或
180
7
°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了翻折變換及等腰三角形的性質(zhì),難度較大,難點(diǎn)在于不確定等腰三角形的腰,需要分情況進(jìn)行討論,尤其是第二問(wèn)需要分六種情況,注意討論的時(shí)候按次序進(jìn)行,避免漏解.
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△ABD≌△CBE
△ABD≌△CBE
;
(2)∠AEB=
105°或150°
105°或150°
時(shí),△EDA為等腰直角三角形;
(3)若2∠AEB-∠BEC=40°,△EDA為等腰直角三角形,求∠AEB.

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(1)則∠B= _________ ;
(2)若△DFE和△FBD都是等腰三角形,求∠B。

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