Question

已知關于x的一元二次方程5x²－2px＋5p＝0(p≠0)有兩個相等的實數(shù)根．求證：(1)方程x²＋px＋q＝0有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設方程x²＋px＋q＝0的兩個實數(shù)根是x₁、x₂，若|x₁|＜|x₂|，則＝．

Answer 1

答案：
解析：

∵方程5x2－2px＋5q＝0有兩個相等的實數(shù)根， 　　∴Δ1＝(－2p)2－4×5×q＝0，整理得q＝p2． 　　(1)方程x2＋px＋q＝0的判別式Δ2＝p2－4q＝p－p2＝p2， 　　∵p≠0，∴Δ2＞0，∴方程x2＋px＋q＝0有兩個不相等的實數(shù)根． 　　(2)∵x1＋x2＝－p，x1x2＝q，由 　　(1)知q＝p2， 　　∴x1x2＝(x1＋x2)2，即6－13x1x2＋6＝0． 　　∵p≠0，∴q≠0，∴x2≠0． 　　∴6()2－13()＋6＝0，解得 　　＝或＝． 　　∵|x1|＜|x2|，∴＜1，∴＝．