【題目】問題探究
(1)如圖①,在△ABC 中,∠B=30°,E 是 AB 邊上的點(diǎn),過點(diǎn) E 作 EF⊥BC 于 F,則的值為 .
(2)如圖②,在四邊形 ABCD 中,AB=BC=6,∠ABC=60°,對角線 BD 平分∠ABC,點(diǎn)E 是對角線 BD 上一點(diǎn),求 AE+ BE的最小值.
問題解決
(3)如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直線 y -x 4 分別于 x 軸,y 軸交于點(diǎn) A、B,點(diǎn) P 為直線 AB 上的動點(diǎn),以 OP 為邊在其下方作等腰 Rt△OPQ 且∠POQ=90°.已知點(diǎn)C(0,-4),點(diǎn) D(3,0)連接 CQ、DQ,那么DQ CQ是否存在最小值,若存在求出其最小值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo),若不存在請說明理由.
【答案】(1) ;(2) ;(3)4.
【解析】
(1)利用直角三角形中,30°所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可;
(2) 作EF⊥BC于F, 根據(jù)直角三角形中,30°所對的直角邊等于斜邊的一半,得到AE+BE=AE+EF ,再根據(jù)勾股定理得到AE+BE的最小值;
(3) 作PM⊥y軸于M,QN⊥y軸于N,易證△POM≌△OQN,根據(jù)當(dāng)、Q、N共線時(shí),Q+NQ最小求解即可.
解;(1) ∵EF⊥BC, ∴∠BFE=90°, ∵∠B=30°, ∴=;
(2)作EF⊥BC于F, ∵∠ABC=60°,對角線 BD 平分∠ABC,∴∠DBC=30°, ∴∠EF=BE, ∴AE+BE=AE+EF, ∴當(dāng)點(diǎn)A、E、F三點(diǎn)在一條直線時(shí),AE+BE 最小,∵∠ABF=60°, ∴∠BAF=30°, ∵AB=6, ∴BF=AB=3, ∴AF= , ∴AE+BE的最小值為.
(3) ∵y=-x+4, ∴B(0,4),A(4,0),
作PM⊥y軸于M,QN⊥y軸于N, ∴∠PMO=∠QNO=90°, ∵∠POM+MPO=∠POM+∠QON=90°∴∠MPO=∠QON, ∵PO=QO, ∴△POM≌△OQN,設(shè)BM=PM=ON=t,則OM=NQ=CN=4-t, ∴無論P在任何位置△CNQ都為等腰三角形,∠NCQ=45°,則Q點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線AC上,作D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn) , ∵D(3,0), ∴(4,-1),則DQ+NQ=Q+NQ, ∴當(dāng)、Q、N共線時(shí),Q+NQ最小,最小值是N=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在△ABC中,BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延長線上截取CG=AB,連接AD、AG.
(1)求證:AD=AG;
(2)AD與AG的位置關(guān)系如何,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4),線段的位置如圖所示,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,).
(1)將線段平移得到線段,其中點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).
①點(diǎn)平移到點(diǎn)的過程可以是:先向 平移 個(gè)單位長度,再向 平移 個(gè)單位長度;
②點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),連接,畫出圖形并求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的對稱軸為直線,與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①;②方程的兩個(gè)根是,③;④當(dāng)時(shí),的取值范圍是;⑤當(dāng)時(shí),隨增大而增大
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,若直線交軸于點(diǎn)、交軸于點(diǎn),將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.過點(diǎn),,的拋物線.
求拋物線的表達(dá)式;
若與軸平行的直線以秒鐘一個(gè)單位長的速度從軸向左平移,交線段于點(diǎn)、交拋物線于點(diǎn),求線段的最大值;
如圖②,點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)是拋物線在第二象限的上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合),連接,以為邊作圖示一側(cè)的正方形.隨著點(diǎn)的運(yùn)動,正方形的大小、位置也隨之改變,當(dāng)頂點(diǎn)或恰好落在軸上時(shí),直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖的直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,并結(jié)合圖象回答下列問題:
(1)y的值隨x值的增大而______(填“增大”或“減小”);
(2)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____;圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______;
(3)當(dāng)x 時(shí),y <0 ;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小華剪了兩條寬為1的紙條,交叉疊放在一起,且它們較小的交角為60°,則它們重疊部分的面積為( )
A. 3 B. 2 C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為,那么的值是( )
A. 5 B. -1 C. 5或-1 D. -5或1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長度為1個(gè)單位長度的小正方形組成的長方形中,點(diǎn)A,B,C在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△AB′C′;
(2)計(jì)算△ABC的面積;
(3)在直線l上找一點(diǎn)P,使PB+PC的長最短.
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