Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD、BD的長分別是方程x²-2$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{4}$（m²-2m+13）=0的兩個實數根．
（1）若∠ADC=15°，求CD的長；
（2）求證：AC+BC=$\sqrt{2}$CD．

Answer 1

分析 （1）根據AD、BD的長分別是方程x²-2$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{4}$（m²-2m+13）=0的兩個實數根，可以求得AD、BD的長，從而可以求得∠DBA和∠DAB的度數，由∠ADC=15°，可以求得∠ABC的度數，作輔助線DE⊥CD于點E，從而可以可以求得CD的長；
（2）作輔助線DE⊥BC于點E，DF⊥CA交CA的延長線于點F，畫出相應的圖形，然后進行靈活變化，即可證明所要證明的結論．

解答 解：（1）∵AD、BD的長分別是方程x²-2$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{4}$（m²-2m+13）=0的兩個實數根，
∴△=$（-2\sqrt{3}）^{2}-4×1×\frac{1}{4}×（{m}^{2}-2m+13）$=-（m-1）²≥0，
∴m-1=0，得m=1，
∴${x}^{2}-2\sqrt{3}x+3=0$，
解得，${x}_{1}={x}_{2}=\sqrt{3}$，
即AD=BD=$\sqrt{3}$，
∵AB是⊙O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
作DE⊥BC于點E，如下圖一所示，

∵∠ADC=15°，∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠ADC=15°，∠CDB=75°，
∴∠DBE=∠DBA+∠ABC=60°，
∴∠DCE=180°-∠CDB-∠DBE=45°，
∵BD=$\sqrt{3}$，
∴DE=BD•sin60°=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
∵∠DEC=90°，DE=$\frac{3}{2}$，∠DCE=45°，
∴CD=$\frac{DE}{sin45°}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：作DE⊥BC于點E，DF⊥CA交CA的延長線于點F，如下圖二所示，

由（1）可得，DE=EC，
∵∠DEC=∠ECA=∠CFD=90°，
∴四邊形CFDE是正方形，
∴DF=CE，
∵∠AFD=∠BFD=90°，DA=DB，
∴在Rt△AFD和Rt△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DB}\\{DF=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△AFD≌Rt△BED（HL），
∴BE=AF，
∴BC+AC=BE+CE+AC=AF+AC+CE=CF+CE=2CE，
∵$CD=\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{2C{E}^{2}}=\sqrt{2}CE$，
∴BC+AC=2CE=$\sqrt{2}×（\sqrt{2}CE）$=$\sqrt{2}CD$，
即AC+BC=$\sqrt{2}$CD．

點評 本題考查圓的綜合題、圓周角、一元二次方程中的△的值、特殊角的三角函數值，解題的關鍵是明確題意，畫出相應的圖形，利用數形結合的思想，找出所求結論需要的條件．