Question

【題目】問題提出：用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)面積為1的小長方形格子，小長方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x，多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為n，S與x，n之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系呢？
（1）問題探究：
如圖1，圖中所示的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對應(yīng)關(guān)系如下表，請?zhí)顚懴卤聿�寫出S與x之間的關(guān)系式S= ．

多邊形的序號(hào)	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	2	2.5	3	4	…
各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x	4				…

（2）在圖2中所示的格點(diǎn)多邊形，這些多邊形內(nèi)部都有且只有2個(gè)格點(diǎn)．探究此時(shí)所畫的各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式S= ．
（3）請繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n（n是正整數(shù)）個(gè)格點(diǎn)時(shí)，猜想S與x，n之間的關(guān)系式S=（用含有字母x，n的代數(shù)式表示）
（4）問題拓展：
請?jiān)谡�三角形網(wǎng)格中的類似問題進(jìn)行探究：在圖3、4中正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形．
根據(jù)圖中提供的信息填表：

	格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)	格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)	格點(diǎn)多邊形的面積
多邊形1（圖3）	8	1	8
多邊形2（圖4）	7	3	11
…	…	…	…
…	…	…	…
…	…	…	…
一般格點(diǎn)多邊形	a	b	S

則S與a，b之間的關(guān)系為S=（用含a，b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）
x；5；6；8
（2）
x+1
（3）
x+（n﹣1）
（4）a+2b﹣2
【解析】解：問題探究：
（1.）∵①各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為：4，S=2= ×4，
②各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為：5，S=2.5= ×5，
③各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為：6，S=3= ×6，
④各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為：8，S=4= ×8，
∴S= x；
所以答案是： x；5，6，8；
（2.）由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn)時(shí)，
⑦的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，面積為4= ×6+1，
⑥的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10，面積為6= ×10+1，
∴S= x+1；
所以答案是： x+1；
（3.）由圖1可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí)，面積為：S= x+（n﹣1）．
（4.）問題拓展：
格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8，格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)1，則s=8+2×1﹣2=8
格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7，格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)3，則s=7+2×3﹣2=11
格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為a，格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)b，則S=a+2b﹣2
所以答案是a+2b﹣2．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)與式的規(guī)律(先從圖形上尋找規(guī)律，然后驗(yàn)證規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，即數(shù)形結(jié)合尋找規(guī)律)．