Question

【題目】已知二次函數(shù)：．

（1）求證：二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且a為負(fù)整數(shù)時(shí)，求a的值及二次函數(shù)的解析式并畫出二次函數(shù)的圖象（不用列表，只要求用其與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)C及其頂點(diǎn)D這四點(diǎn)畫出二次函數(shù)的大致圖象，同時(shí)標(biāo)出A，B，C，D的位置）；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)P使？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），，函數(shù)圖象如圖所示見解析；（3）存在這樣的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）1）將解析式右邊因式分解得拋物線與x軸的交點(diǎn)為（2，0）、（，0），結(jié)合a＜0即可得證；

（2）根據(jù)題意求出，再求出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即可作圖；

（3）根據(jù)題意作出圖像，根據(jù)題意分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，記直線PC與x軸的交點(diǎn)為E，根據(jù)求出，因此，求出，則可求出求得直線CE解析式為，再聯(lián)立兩直線即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方時(shí)， 同理求出P的坐標(biāo).

（1）∵，且，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為、，

則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）∵兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且a為負(fù)整數(shù)，

∴，

則拋物線與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為、B的坐標(biāo)為，

∴拋物線解析式為

，

當(dāng)時(shí)，，即，

函數(shù)圖象如圖1所示：

（3）存在這樣的點(diǎn)P，

∵，

∴，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，記直線PC與x軸的交點(diǎn)為E，

∵，

∴，，

則，

∴，

則，

求得直線CE解析式為，

聯(lián)立，

解得或，

∴；

如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方時(shí)，記直線PC與x軸的交點(diǎn)為F，

∵，，

∴，

則，

∴，

求得直線PC解析式為，

聯(lián)立，

解得：或，

∴，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．