【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,AB=5,聯(lián)結(jié)BD,sinABD=.點(diǎn)P是射線BC上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合),聯(lián)結(jié)AP,與對角線BD相交于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)EC.

(1)求證:AE=CE;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時,設(shè)BP=x,PEC的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時,若PEC是直角三角形,求線段BP的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)(0<x<5);(3)或15.

【解析】

試題分析:(1)由菱形的性質(zhì)得出BA=BC,ABD=CBD.由SAS證明ABE≌△CBE,即可得出結(jié)論.

(2)聯(lián)結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AHBC于H,過點(diǎn)E作EFBC于F,由菱形的性質(zhì)得出ACBD.由三角函數(shù)求出AO=OC=,BO=OD=.由菱形面積得出AH=4,BH=3.由相似三角形的性質(zhì)得出,求出EF的長,即可得出答案;;

(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC的延長線上,所以EPC不可能為直角.分情況討論:

當(dāng)ECP=90°時,當(dāng)CEP=90°時,由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.

試題解析:(1)四邊形ABCD是菱形,BA=BC,ABE=CBE.

ABE和CBE中,BA=BC,ABE=CBE,BE=BE.BE=BE,∴△ABE≌△CBE,AE=CE.

(2)連接AC,交BD于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AHBC,過點(diǎn)E作EFBC,如圖1所示:

垂足分別為點(diǎn)H、F.

四邊形ABCD是菱形,ACBD.

AB=5,sinABD=,AO=OC=,BO=OD=

ACBD=BCAH,AH=4,BH=3.

ADBC,,,

EFAH,,EF=,∴y=PCEF=,(0<x<5)

(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC的延長線上,所以EPC不可能為直角.如圖2所示:

當(dāng)ECP=90°時

∵△ABE≌△CBE,∴∠BAE=BCE=90°,cosABP=,,BP=

當(dāng)CEP=90°時,∵△ABE≌△CBE,∴∠AEB=CEB=45°,AO=OE=,ED=,BE=

ADBP,,BP=15.

綜上所述,當(dāng)EPC是直角三角形時,線段BP的長為或15.

練習(xí)冊系列答案
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