【題目】如圖,在中,,以為邊作等邊,連接.
(1)如圖1,若,求的面積;
(2)如圖2,若,點為中點,連接,且,延長至點,連接,使得,求證:;
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)延長BC,作DE⊥BC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2,BC=,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出△BCD的高,即可得出其面積;
(2)延長AB到G使AG=AB,易△ADG△ACF,∠G=∠F=30°,AE是中位線,可得AE∥GD,得∠CFA=90°,AE=DG=CF,再證CH=CF,得CE=AH,可得四邊形AECH是矩形,CE=AH,HF=AE即可.
(1)延長BC,作DE⊥BC于點E,如圖所示:
∵,
∴AC=2,BC=
又∵等邊,DE⊥BC
∴AC=CD=AD=2,∠DCE=30°
∴DE=1
∴
故答案為;
(2)延長BA到G,使得AB=AG,連接DG,作CH⊥AF于H,如圖所示:
∵,,AB=AG
∴AB=AF=AG,∠BAF=120°
∴∠GAF=60°
∵等邊
∴∠CAD=60°,AC=AD,
∴∠CAF=∠DAG
∴△ACF≌△ADG(SAS)
∴DG=CF,∠AGD=∠AFC=30°
又∵點為中點,AB=AG,
∴,∠BAE=∠AGD=30°
∴∠EAF=90°
又∵CH⊥AF,
∴,
∴,
∵
∴四邊形AECH為矩形
∴AH=CE
∴
即可得證.
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0)、C(2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)設(shè)點M(3,n),求使MN+MD取最小值時n的值.
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【題目】圖1是一個長為2a,寬為2b的長方形,沿圖中虛線剪開,可分成四塊小長方形.
(1)求出圖1的長方形面積;
(2)將四塊小長方形拼成一個圖2的正方形.利用陰影部分面積的不同表示方法,直接寫出代數(shù)式(a+b)2、(a-b)2、ab之間的等量關(guān)系;
(3)把四塊小長方形不重疊地放在一個長方形的內(nèi)部(如圖3),未被覆蓋的部分用陰影表示.求兩塊陰影部分的周長和(用含m、n的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,,且,滿足,點為上一個動點(不與,)重合),連接.
圖1 圖2
(1)直接寫出 ___________,___________;
(2)如圖1,過點作的垂線交過點平行于軸的直線于點,若點,
求點的坐標;
(3)如圖2,以為斜邊在右側(cè)作等腰,.連接,當點從向運動過程中,的面積是否發(fā)生變化,請判斷并說明理由.
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【題目】甲、乙兩人加工同一種零件,甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的 1.5 倍,兩人各加工 600 個這種零件,甲比乙少用 5 天.
(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個這種零件?
(2)已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是 150 元和 120 元,現(xiàn)有 3000 個這種零件的加工任務(wù),甲單獨加工一段時間后另有安排,剩余任務(wù)由乙單獨完成.如果總加工費不超過 7800 元,那么甲至少加工了多少天?
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【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點D的橫坐標為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點A1的橫坐標.
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【題目】如圖,點A(m,m+1),B(m+1,2m-3)都在反比例函數(shù)的圖象上.
(1)求m,k的值;
(2)如果M為x軸上一點,N為y軸上一點, 以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,試求直線MN的函數(shù)表達式.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點D,AE⊥DC,垂足為E,F(xiàn)是AE與⊙O的交點,AC平分∠BAE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.
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