【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(﹣2,0)和B(8,0)兩點,交y軸于點C,點D是線段OB上一動點,連接CD,將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,過點E作直線l⊥x軸于H,過點C作CF⊥l于F.
(1)求拋物線解析式;
(2)如圖2,當(dāng)點F恰好在拋物線上時,求線段OD的長;
(3)在(2)的條件下:
①連接DF,求tan∠FDE的值;
②試探究在直線l上,是否存在點G,使∠EDG=45°?若存在,請直接寫出點G的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)OD=2;(3)①tan∠FDE=;②存在,點G的坐標(biāo)為(4,﹣)或(6,12).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求得即可;
(2)根據(jù)C的縱坐標(biāo)求得F的坐標(biāo),然后通過△OCD≌△HDE,得出DH=OC=3,即可求得OD的長;
(3)①先確定C、D、E、F四點共圓,根據(jù)圓周角定理求得∠ECF=∠EDF,可求得tan∠FDE== ;②連接CE,得出△CDE是等腰直角三角形,得出∠CED=45°,過D點作DG1∥CE,交直線l于G1,過D點作DG2⊥CE,交直線l于G2,則∠EDG1=45°,∠EDG2=45°,求得直線CE的解析式為,即可設(shè)出直線DG1的解析式為,直線DG2的解析式為y=3x+n,把D的坐標(biāo)代入即可求得m、n,從而求得解析式,進而求得G的坐標(biāo).
本題解析:(1)如圖1,∵拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(﹣2,0)和B(8,0)兩點,
∴ 解得.
∴拋物線解析式為:
(2)如圖2,∵點F恰好在拋物線上,C(0,4), ∴F的縱坐標(biāo)為4,
把y=4代入, 解得x=0或x=6, ∴F(6,4), ∴OH=6,
∵∠CDE=90°, ∴∠ODC+∠EDH=90°, ∴∠OCD=∠EDH,
在△OCD和△HDE中,
,
∴DH=OC=4, ∴OD=6﹣4=2;
(3)①如圖3,連接CE, ∵△OCD≌△HDE, ∴HE=OD=2,
∵BF=OC=4, ∴EF=4﹣2=2,
∵∠CDE=∠CFE=90°,∴C、D、E、F四點共圓, ∴∠ECF=∠EDF,
在RT△CEF中,∵CF=OH=6, ∴tan∠ECF== , ∴tan∠FDE=;
②如圖4,連接CE, ∵CD=DE,∠CDE=90°,∴∠CED=45°,
過D點作DG1∥CE,交直線l于G1,過D點作DG2⊥CE,交直線l于G2,則∠EDG1=45°,∠EDG2=45°
∵EH=2,OH=6, ∴E(6,2),
∵C(0,4), ∴直線CE的解析式為,
設(shè)直線DG1的解析式為,
∵D(2,0), ∴,解得m=, ∴直線DG1的解析式為,
當(dāng)x=6時, ∴G1(6,﹣);
設(shè)直線DG2的解析式為y=3x+n,
∵D(2,0), ∴0=3×2+n,解得n=﹣6, ∴直線DG2的解析式為y=3x﹣6,
當(dāng)x=6時,y=3×6﹣6=12, ∴G2(6,12);
綜上,在直線l上,是否存在點G,使∠EDG=45°,點G的坐標(biāo)為(4,﹣ )或(6,12).
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【題目】如圖,AB∥CD,直線MN分別交AB、CD于點E,F(xiàn),EG平分∠AEF,EG⊥FG于點G,若∠BEM=60°,則∠CFG= .
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【題目】一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動,在第一秒鐘,它從原點跳動到(0,1),然后接著按圖中箭頭所示方向跳動,即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)…,且每秒跳動一個單位,那么第35秒時跳蚤所在位置的坐標(biāo)是( )
A.(4,0)
B.(5,0)
C.(0,5)
D.(5,5)
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都為1,△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示,△ABC的三個頂點都在格點上.
(1)寫出△ABC三個頂點的坐標(biāo);
(2)將點A,B,C的橫坐標(biāo)都乘以﹣1,縱坐標(biāo)不變,分別得到點A1 , B1 , C1 , 在圖中找到點A1 , B1 , C1 , 并順次連接A1 , B1 , C1得到△A1B1C1 , 則這兩個三角形關(guān)于對稱;
(3)若以點A,C,P為頂點的三角形與△ABC全等,直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo).
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【題目】已知二次函數(shù)y=2(x-3)2+1.下列說法:
①其圖象的開口向下;②其圖象的對稱軸為直x=3;③其圖象頂點坐標(biāo)為(3,1);④當(dāng)x<3,y隨x的增大而減小.
則其中說法正確的有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】已知:點A(﹣1,0),B(0,﹣3).
(1)求:直線AB的表達式;
(2)直接寫出直線AB向下平移2個單位后得到的直線表達式;
(3)求:在(2)的平移中直線AB在第三象限內(nèi)掃過的圖形面積.
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【題目】計算。
(1)你發(fā)現(xiàn)了嗎?( )2= × ,( )﹣2= = × = × 由上述計算,我們發(fā)現(xiàn)( )2( )﹣2;
(2)仿照(1),請你通過計算,判斷( )3與( )﹣3之間的關(guān)系.
(3)我們可以發(fā)現(xiàn):( )﹣m( )m(ab≠0)
(4)計算:( )﹣4×( )4 .
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【題目】為了了解某中學(xué)初三800名學(xué)生的視力情況,從中隨機抽取了30名學(xué)生進行調(diào)查,在此次調(diào)查中,樣本容量為( )
A.800 B.30 C.800名學(xué)生的視力 D.30名學(xué)生的視力
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