Question

【題目】已知∠AOB＝120°，點(diǎn)P為射線OA上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，且點(diǎn)Q恰好落在射線OB上，不與點(diǎn)O重合．

（1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；

（2）用等式表示∠CPO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）連接OC，寫出一個OC的值，使得對于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ＝4，并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠CQO+∠CPO＝180°，詳見解析；（3）OC＝4時，對于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ＝4，詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得答案；
（3）連接OC，在射線OA上取點(diǎn)D，使得DP=OQ，連接CD，首先證明△COQ≌△CDP，然后△COD為等邊三角形，進(jìn)而可得答案．

（1）補(bǔ)圖如圖1：

（2）∠CQO+∠CPO＝180°，

理由如下：∵四邊形內(nèi)角和360°，

且∠AOB＝120°，∠PCQ＝60°，

∴∠CQO+∠CPO＝∠1+∠2＝180°．

（3）OC＝4時，對于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ＝4．

證明：連接OC，在射線OA上取點(diǎn)D，使得DP＝OQ，連接CD．

∴OP+OQ＝OP+DP＝OD．

∵∠1+∠2＝180°，

∵∠2+∠3＝180°，

∴∠1＝∠3．

∵CP＝CQ，

在△CQO和△CPD中

，

∴△COQ≌△CDP（SAS）．

∴∠4＝∠6，OC＝CD．

∵∠4+∠5＝60°，

∴∠5+∠6＝60°．

即∠OCD＝60°．

∴△COD是等邊三角形．

∴OC＝OD＝OP+OQ＝4．