已知二次函數(shù)(a>0)的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,x1,x2是方程的兩根.
(1)若拋物線的頂點(diǎn)為D,求S△ABC:S△ACD的值;
(2)若∠ADC=90°,求二次函數(shù)的解析式.
解:(1)解方程,得x=-5或x=1,
∵x1<x2,∴x1=﹣5,x2=1!郃(﹣5,0),B(1,0)。
∴拋物線的解析式為:(a>0)。
∴對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,-9a)。
令x=0,得y=-5a,∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,﹣5a)。
依題意畫出圖形,如圖所示,
則OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a。
過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E,
則DE=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a。
∴
。
而,
∴。
(2)如圖所示,
在Rt△DCE中,由勾股定理得:CD2=DE2+CE2=4+16a2,
在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC2=OA2+OC2=25+25a2,
設(shè)對稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)F,則AF=3,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:AD2=AF2+DF2=9+81a2。
∵∠ADC=90°,∴△ACD為直角三角形,
由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
即,化簡得:。
∵a>0,∴。
∴拋物線的解析式為:,即。
【解析】(1)首先解一元二次方程,求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),得到含有字母a的拋物線的交點(diǎn)式;然后分別用含字母a的代數(shù)式表示出△ABC與△ACD的面積,最后得出結(jié)論。
(2)在Rt△ACD中,利用勾股定理,列出一元二次方程,求出未知系數(shù)a,得出拋物線的解析式。
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A、y1≥y2 | B、y1>y2 | C、y1<y2 | D、y1≤y2 |
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