Question

如圖，足球場(chǎng)上守門員在O處開(kāi)出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4米高．球第一次落地點(diǎn)后又一次彈起．據(jù)實(shí)驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來(lái)的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來(lái)最大高度的一半．
（1）求足球開(kāi)始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式．
（2）運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米？（取4

3

=7，2

6

=5）

Answer 1

分析：（1）易得第一次落地時(shí)拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)所求的函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，把（0，1）代入即可求得所求的函數(shù)解析式；
（2）易得第二次落地時(shí)的拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)與第一次落地時(shí)拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)相同，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為第一個(gè)函數(shù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，用頂點(diǎn)式設(shè)出所求的函數(shù)解析式，把C坐標(biāo)代入后求得第二次落地時(shí)的拋物線解析式，讓函數(shù)值等于0可得D的橫坐標(biāo)，減去OB的距離即為跑的距離．

解答：解：（1）如圖，設(shè)第一次落地時(shí)，
拋物線的表達(dá)式為y=a（x-6）²+4．
由已知：當(dāng)x=0時(shí)y=1．
即1=36a+4，
∴a=-

1

12

．
∴表達(dá)式為y=-

1

12

（x-6）²+4；

（2）由題意得：0=-

1

12

（x-6）²+4
解得：x₁=4

3

+6≈13，x2=-4

3

+6＜0（舍去），
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（13，0）．
設(shè)第二次落地的拋物線為y=-

1

12

（x-k）²+2．
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：0=-

1

12

（13-k）²+2．
解得：k₁=13-2

6

＜13（舍去），k₂=6+4

3

+2

6

≈18．
∴y=-

1

12

（x-18）²+2．
0=-

1

12

（x-18）²+2．
x₁=18-2

6

（舍去），x₂=18+2

6

≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
答：運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑17米．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的應(yīng)用；判斷出2個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵；用到的知識(shí)點(diǎn)為：若二次函數(shù)的形狀相同，則二個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)相同．