【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點M的坐標為(2,8),點N的坐標為(2,6),將線段MN向右平移4個單位長度得到線段PQ(點P和點Q分別是點M和點N的對應點),連接MP、NQ,點K是線段MP的中點.
(1)求點K的坐標;
(2)若長方形PMNQ以每秒1個單位長度的速度向正下方運動,(點A、B、C、D、E分別是點M、N、Q、P、K的對應點),當BC與x軸重合時停止運動,連接OA、OE,設運動時間為t秒,請用含t的式子表示三角形OAE的面積S(不要求寫出t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,連接OB、OD,問是否存在某一時刻t,使三角形OBD的面積等于三角形OAE的面積?若存在,請求出t值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(4,8)(2)S△OAE=8﹣t(3)2秒或6秒
【解析】
(1)根據M和N的坐標和平移的性質可知:MN∥y軸∥PQ,根據K是PM的中點可得K的坐標;
(2)根據三角形面積公式可得三角形OAE的面積S;
(3)存在兩種情況:
①如圖2,當點B在OD上方時
②如圖3,當點B在OD上方時,
過點B作BG⊥x軸于G,過D作DH⊥x軸于H,分別根據三角形OBD的面積等于三角形OAE的面積列方程可得結論.
(1)由題意得:PM=4,
∵K是PM的中點,
∴MK=2,
∵點M的坐標為(2,8),點N的坐標為(2,6),
∴MN∥y軸,
∴K(4,8);
(2)如圖1所示,延長DA交y軸于F,
則OF⊥AE,F(0,8﹣t),
∴OF=8﹣t,
∴S△OAE=OFAE=(8﹣t)×2=8﹣t;
(3)存在,有兩種情況:,
①如圖2,當點B在OD上方時,
過點B作BG⊥x軸于G,過D作DH⊥x軸于H,則B(2,6﹣t),D(6,0),
∴OG=2,GH=4,BG=6﹣t,DH=8﹣t,OH=6,
S△OBD=S△OBG+S四邊形DBGH+S△ODH,
=OGBG+(BG+DH)GH﹣OHDH,
=×2(6-t)+×4(6﹣t+8﹣t)﹣×6(8﹣t),
=10﹣2t,
∵S△OBD=S△OAE,
∴10﹣2t=8﹣t,
t=2;
②如圖3,當點B在OD上方時,
過點B作BG⊥x軸于G,過D作DH⊥x軸于H,
則B(2,6﹣t),D(6,8﹣t),
∴OG=2,GH=4,BG=6﹣t,DH=8﹣t,OH=6,
S△OBD=S△ODH﹣S四邊形DBGH﹣S△OBG,
=OHDH﹣(BG+DH)GH﹣OGBG,
=×2(8-t)﹣×4(6﹣t+8﹣t)﹣×2(6﹣t),
=2t﹣10,
∵S△OBD=S△OAE,
∴2t﹣10=8﹣t,
t=6;
綜上,t的值是2秒或6秒.
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【題目】圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀把它均分成四個小長方形,然后按圖②的形狀拼成一個正方形.
(1)你認為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于多少?
(2)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積.
(3)觀察圖②你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎?
代數式:(m+n)2,(m-n)2,mn.
(4)根據(3)題中的等量關系,解決如下問題:
已知a+b=7,ab=5,求(a-b)2的值.(寫出過程)
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【題目】如圖,直線AB、CD交于點O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOD.
(1)∠AOC=50°,求∠DOF與∠DOE的度數,并計算∠EOF的度數;
(2)當∠AOC的度數變化時,∠EOF的度數是否變化?若不變,求其值;若變化,說明理由.
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【題目】如圖所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.有以下結論:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正確的有( ).
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】甲、乙兩人進行慢跑練習,慢跑路程y(米)與所用時間t(分鐘)之間的關系如圖所示,下列說法錯誤的是( )
A. 前2分鐘,乙的平均速度比甲快
B. 5分鐘時兩人都跑了500米
C. 甲跑完800米的平均速度為100米/分
D. 甲乙兩人8分鐘各跑了800米
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【題目】已知關于x的方程x2+mx+m﹣2=0.
(1)求證:無論m取何值時,方程總有兩個不相等的實數根;
(2)設方程兩實數根分別為x1 , x2 , 且滿足x12+x22=﹣3x1x2 , 求實數m的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側),經過點A的直線l:y=kx+b與y軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.
(1)直接寫出點A的坐標,并用含a的式子表示直線l的函數表達式(其中k、b用含a的式子表示).
(2)點E為直線l下方拋物線上一點,當△ADE的面積的最大值為 時,求拋物線的函數表達式;
(3)設點P是拋物線對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否為矩形?若能,求出點P的坐標;若不能,請說明理由.
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