【題目】如圖,△ABC中,∠B=90°,tan∠BAC=,半徑為2的⊙O從點A開始(圖1),沿AB向右滾動,滾動時始終與AB相切(切點為D);當圓心O落在AC上時滾動停止,此時⊙O與BC相切于點E(圖2).作OG⊥AC于點G.
(1)利用圖2,求cos∠BAC的值;
(2)當點D與點A重合時(如圖1),求OG;
(3)如圖3,在⊙O滾動過程中,設AD=x,請用含x的代數式表示OG,并寫出x的取值范圍.
【答案】(1)cos∠BAC=;(2)OG=;(3)OG=﹣x+,x的取值范圍是:0≤x≤4.
【解析】整體分析:
(1)連接OD,Rt△AOD中用勾股定理求OA,用余弦的定義求解;(2)連接OA,則∠AOG=∠BAC,在Rt△OAG中,用∠AOG的余弦求解;(3)連接OD交AC于點F,用x表示出OF,由∠FOG=∠BAC,利用∠FOG的余弦求解.
解:(1)如圖2,連接OD,
∵⊙O與AB相切,∴OD⊥AB,
∵tan∠BAC=,OD=2,∴AD=4,OA=,
∴cos∠BAC==;
(2)如圖1,連接OA,
∵⊙O與AB相切,∴OA⊥AB,
又∵OG⊥AC,∴∠AOG=90°﹣∠OAG=∠BAC,
∴cos∠AOG=cos∠BAC=.
∵cos∠AOG=,
∴OG=OAcos∠AOG=2×=;
(3)如圖3,連接OD交AC于點F,
∵⊙O與AB相切,∴OD⊥AB,∴∠FOG=90°﹣∠OFG,
又∵OG⊥AC,∴∠BAC=90°﹣∠AFD,
又∵∠OFG=∠AFD,∴∠FOG=∠BAC,
∵tan∠BAC=,
∴FD=ADtan∠BAC=x,
∴OF=2﹣x,∵cos∠BAC=cos∠FOG=,
∴OG=OFcos∠FOG=(2﹣x)=﹣x+,x的取值范圍是:0≤x≤4.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動,點Q在BC邊上,以每秒4cm的速度從點C出發(fā),在CB間往返運動,兩個點同時出發(fā),當點P到達點D時停止(同時點Q也停止),在這段時間內,線段PQ有( )次平行于AB?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,在數軸上點表示的數是點在點的右側,且到點的距離是18;點在點與點之間,且到點的距離是到點距離的2倍.
(1)點表示的數是____________;點表示的數是_________;
(2)若點P從點出發(fā),沿數軸以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動;同時,點Q從點B出發(fā),沿數軸以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動。設運動時間為秒,在運動過程中,當為何值時,點P與點Q之間的距離為6?
(3)在(2)的條件下,若點P與點C之間的距離表示為PC,點Q與點B之間的距離表示為在運動過程中,是否存在某一時刻使得?若存在,請求出此時點表示的數;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖:在數軸上 A 點表示數 a,B 點示數 b,C 點表示數 c,b 是最大的負整數,且 a、b 滿足|a+ 3|+(c﹣6)2=0.
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)若將數軸折疊,使得 A點與B 點重合,則點 C與數 表示的點重合;
(3)點 A、B、C開始在數軸上運動,若點 A以每秒 2個單位長度的速度向左運動,同時,點 B和 點 C分別以每秒1個單位長度和 4個單位長度的速度向右運動,假設 t 秒鐘過后,若點 A與點 B之間的距離表示為 AB,點 A與點 C之間的距離表示為 AC,點 B與點 C之間的距離表示為 BC.則 AB= ,AC= ,BC= .(用 含 t的代數式表示)
(4)請問:2BC+AB - AC的值是否隨著時間 t 的變化而改變?若變化,請說明理由;若不變,請求其值.
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【題目】在一條不完整的數軸上從左到右有點A,B,D,C,其中AB=2,BD=3,DC=1,如圖所示,設點A,B,D,C所對應數的和是p.
(1)若以B為原點.寫出點A,D,C所對應的數,并計算p的值;
(2)若原點O在圖中數軸上點C的右邊,且CO=x,p=﹣71,求x的值.
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【題目】已知:如圖一,拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,直線y=x-2經過A、C兩點,且AB=2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移,且分別交y軸、線段BC于點E,D,同時動點P從點B出發(fā),沿BO方向以每秒2個單位速度運動,(如圖2);當點P運動到原點O時,直線DE與點P都停止運動,連DP,若點P運動時間為t秒;設s=,當t為何值時,s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的條件下,是否存在t的值,使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數y=﹣x+4,回答下列問題:
(1)請在右圖的直角坐標系中畫出函數y=﹣x+4圖象;
(2)y的值隨x值的增大而________;
(3)當y=2時,x的值為_________;
(4)當y<0時,x的取值范圍是_______.
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【題目】檢修小組從A地出發(fā),在東西路上檢修線路,若規(guī)定向東行駛的路程為正數,向西行駛的路程為負數,一天中行駛記錄(單位;千米)如下:
(1)收工時檢修小組在A地的哪側,距A地多遠?
(2)若每千米耗油0.3升,從出發(fā)到收工共耗油多少升?
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【題目】某校為了解初中學生每天在校體育活動的時間(單位:h),隨機調査了該校的部分初中學生.根據調查結果,繪制出如下的統計圖①和圖②.請根據相關信息,解答下列問題:
(Ⅰ)本次接受調查的初中學生人數為___________,圖①中m的值為_____________;
(Ⅱ)求統計的這組每天在校體育活動時間數據的平均數、眾數和中位數;
(Ⅲ)根據統計的這組每天在校體育活動時間的樣本數據,若該校共有800名初中學生,估計該校每天在校體育活動時間大于1h的學生人數.
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