Question

【題目】(1)如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，試探索∠1+∠2與∠A的關(guān)系．（證明）．

(2)如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度數(shù)；

(3)如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）∠1+∠2=2∠A；（2）122.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2）．

【解析】

（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；

（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可；

（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，進(jìn)而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．

（1）∠1+∠2=2∠A；

∵∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°

又∵∠1+∠A′DA+∠2+∠AEA′=360°

∴∠A+∠A′=∠1+∠2

又∵∠A=∠A′

∴2∠A=∠1+∠2．

（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°

∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）

=（180°-∠A）=90°-∠A，

∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），

=180°-（90°-∠A）=90°+×65°=122.5°；

（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，

∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，

∴∠A=（∠1+∠2），

∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）．