Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝4 cm，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)若0＜t ＜4，試問(wèn)：t為何值時(shí)，以E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

(2)若∠ACB的平分線CG交△ECF的外接圓于點(diǎn)G．

①試說(shuō)明：當(dāng)0＜t ＜4時(shí)，CE、CF、CG在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滿足CE＋CF＝CG.

②試探究：當(dāng)t≥4時(shí)，CE、CF、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)t=2或0.4秒；(2)①證明見(jiàn)解析；②CE﹣CF=CG．

【解析】

（1）0＜t＜4時(shí)，E和F分別在邊AC和BC上，分成△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC兩種情況，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解；
（2）分成0＜t＜4和t≥4兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，證明△EGH≌△FGC，△CGH是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，②當(dāng)t≥4時(shí)，思路相同

解：(1)由題意，EC=3t，BF=t，FC=4﹣t

∵∠ECF=∠ACB，

∴以E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似有兩種情況：

當(dāng)時(shí)，△EFC∽△ABC

∴，解得t=2，

當(dāng)時(shí)，△FEC∽△ABC

∴，解得t=0.4．

∴當(dāng)t=2或0.4秒時(shí)，以E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

(2)①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CG交AC于H，如圖1：

∵∠ACB=90°，

∴EF為△ECF的外接圓的直徑，

∴∠EGF=90°，

∴∠EGH=∠FGC，

∵CG平分∠ACB，

∴∠ECG=∠FCG=45°

∴弧EG=弧FG

∴EG=FG

∵∠ECG=45°，

∴∠EHG=45°，

∴∠EHG=∠FCG，

在△EGH和△FGC中，

，

∴△EGH≌△FGC．

∴EH=FC

∵∠EHG=∠ECG=45°，

∴CH=CG

∵CH=CE+EH，

∴CE+CF=CG；

②當(dāng)t≥4時(shí)，

過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CG交AC于M，如圖2：

同理可得△EGM≌△FGC．

∴EM=FC

∵∠EMG=∠MCG=45°，

∴CM=CG

∵CM=CE﹣EM，

∴CE﹣CF=CG．