【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長為1的正方形OABC的頂點O與原點重合,頂點A,C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N,連接OM、ON、MN.若∠MON=45°,則k的值為_____.
【答案】﹣1
【解析】
由點M、N都在y=的圖象上,及正方形的性質(zhì)可得出 CN=AM,將△OAM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,可證出△M'ON≌△MON(SAS),由此即可得出M′N=MN,再由CN=AM,通過邊與邊之間的關(guān)系即可得出BM=BN,設(shè)AM=CN=x,則BM=BN=1-x,MN=2x,在Rt△BMN中,利用勾股定理列出x的方程,求得x的值,便可得出M點的坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法求得k便可.
解:∵點M、N都在y=的圖象上,
∴S△ONC=S△OAM=|k|.
∵四邊形ABCO為正方形,
∴OC=OA,∠OCN=∠OAM=90°,
∴OCCN=OAAM.
∴CN=AM.
將△OAM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點M對應(yīng)M′,點A對應(yīng)C,如圖所示.
∵∠OCM′+∠OCN=180°,
∴N、C、M′共線.
∵∠COA=90°,∠NOM=45°,
∴∠CON+∠MOA=45°.
∵△OAM旋轉(zhuǎn)得到△OCM′,
∴∠MOA=∠M′OC,
∴∠CON+∠COM'=45°,
∴∠M'ON=∠MON=45°.
在△M'ON與△MON中,
,
∴△M'ON≌△MON(SAS),
∴MN=M'N.
∵CN=AM.
又∵BC=BA,
∴BN=BM.
設(shè)AM=CN=x,則BM=BN=1﹣x,MN=2x,
又∵∠B=90°,
∴BN2+BM2=MN2,
∴(1﹣x)2+(1﹣x)2=(2x)2,
解得,x=﹣1,或x=﹣﹣1(舍去),
∴AM=﹣1,
∴M(1,﹣1),
∵M點在反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象上,
∴k=1×(﹣1)=﹣1,
故答案為:﹣1.
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【題目】如圖,在中,,,,點是射線上一動點,連接,將沿折疊,當(dāng)點的對應(yīng)點落在線段的垂直平分線上時,的長等于__________.
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【題目】如圖,國慶節(jié)期間,小明一家自駕到某景區(qū)C游玩,到達(dá)A地后,導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60°方向行駛6千米至B地,再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達(dá)景區(qū)C,小明發(fā)現(xiàn)景區(qū)C恰好在A地的正北方向,求A,C兩地相距多少千米?(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)求直線BC的解析式.
(2)點P是線段BC下方拋物線上的一個動點.
①求四邊形PBAC面積的最大值,并求四邊形PBAC面積的最大時P點的坐標(biāo);
②如果在x軸上存在點Q,使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.求點Q的坐標(biāo).
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【題目】在疫情期間,某地推出線上名師公益大課堂,為廣大師生、其他社會人士提供線上專業(yè)知識學(xué)習(xí)、心理健康疏導(dǎo).參與學(xué)習(xí)第一批公益課的人數(shù)達(dá)到2萬人,因該公益課社會反響良好,參與學(xué)習(xí)第三批公益課的人數(shù)達(dá)到2.42萬人.參與學(xué)習(xí)第二批、第三批公益課的人數(shù)的增長率相同.
(1)求這個增長率;
(2)據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計,參與學(xué)習(xí)第三批公益課的人數(shù)中,師生人數(shù)在參與學(xué)習(xí)第二批公益課的師生人數(shù)的基礎(chǔ)上增加了80%;但因為已經(jīng)部分復(fù)工,其他社會人士的人數(shù)在參與學(xué)習(xí)第二批公益課的其他社會人士人數(shù)的基礎(chǔ)上減少了60%.求參與學(xué)習(xí)第三批公益課的師生人數(shù).
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角(0°<<90°)得到△DEC,設(shè)CD交AB于點F,連接AD,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為________,△ADF是等腰三角形.
A.20°B.40°C.10°D.20°或40°
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AC=BC,弦CD與AB交于E,AB=CD,過A作AF⊥BC于F.
(1)判斷AC與BD的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:AC=2CF+BD;
(3)若S△CFA=S△CBD,求tan∠BDC的值.
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【題目】為了提高同學(xué)們的業(yè)余生活,我校開展了豐富多彩的“社團”活動,為了了解學(xué)生最喜愛的“社團”活動,隨機抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,規(guī)定每人從“舞蹈”、“唱歌”、“畫畫”、“手工”和“其他”中選擇一個,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)補全條形統(tǒng)計圖;
(2)計算扇形統(tǒng)計圖中“其他”所在扇形圓心角的度數(shù);
(3)若喜愛“其他”的5名同學(xué)中,八年級有3人,九年級有2人,現(xiàn)從中隨機抽取兩人去幫助教務(wù)處整理圖書,請用列表法或樹狀圖法求這兩人來自同一個年級的概率.
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