Question

如圖所示：點A和點C分別在射線BF和射線BE上運動（點A和點C不與點B重合），BF⊥BE，CD是∠ACB的平分線，AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，AM的反向延長線與CD交于點D．試回答下列問題：
（1）若∠ACB=30°，則∠D=

45

°，若∠ACB=70°，則∠D=

45

°  
（2）設∠ACD=x，用x表示∠MAC的度數，則∠MAC=

（45+x）

°
（3）試猜想，點A和點C在運動過程中，∠D的度數是否發(fā)生變化？若變化，請求出變化范圍；若不變，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的定義用∠ACB表示出∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和與角平分線的定義表示出∠MAC，整理即可得解；
（2）根據（1）可得∠D=45°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答即可；
（3）根據角的平分線定義表示出∠MAC，∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式整理即可得到∠D的大小只與∠ABC有關．

解答：解：（1）∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=

1

2

∠FAC，
根據三角形外角性質，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∴

1

2

∠ACB+∠D=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

1

2

×90°=45°，
即∠D的大小與∠ACB無關，等于

1

2

∠ABC，
當∠ACB=30°，∠D=45°，∠ACB=70°，∠D=45°；

（2）根據（1）∠D=45°，
∵∠ACD=x，
∴在△ACD中，∠MAC=∠ACD+∠D=（45+x）°；

（3）不變．理由如下：
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=

1

2

∠FAC，
根據三角形外角性質，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∴

1

2

∠ACB+∠D=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

1

2

×90°=45°．
故答案為：（1）45，45；（2）（45+x）．

點評：本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．