若a,b,c為實(shí)數(shù),且a+b+c=0,abc=2,那么|a|+|b|+|c|的最小值可達(dá)到
 
分析:先根據(jù)已知條件確定a、b、c的符號,利用完全平方式求出(|a|+|b|+|c|)2=4a2,再構(gòu)造出以b、c為根的一元二次方程,由根的判別式即可求出a的取值范圍,再由(|a|+|b|+|c|)2=4a2即可求出答案.
解答:解:由題意得a=-(b+c),
∵abc=2>0,
∴假設(shè)a>0,則b<0,c<0,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc+4ab+4ac,
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|+2|a||c|+2|b||c|+4ab+4ac,
=(|a|+|b|+|c|)2+4ab+4ac,
∴(|a|+|b|+|c|)2=0-4ab-4ab=-4a(b+c)=4a2,
∵b+c=-a,bc=
2
a
,所以可以將b、c看成是x2+ax+
2
a
=0這個(gè)方程的兩個(gè)根,
∵△≥0,
∴a2-
8
a
≥0,
∴a3-8≥0,即a3≥8,a≥2,
∴(|a|+|b|+|c|)2≥16,
∴|a|+|b|+|c|≥4,
∴|a|+|b|+|c|的最小值為4.
故答案為:4.
點(diǎn)評:本題考查的是絕對值的性質(zhì)及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式,綜合性較強(qiáng),難度較大.
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a-5
+2
10-2a
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;b=
 

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