Question

如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度數(shù)；
（2）在MN上是否存在一點(diǎn)D，使AB•CD=AC•BC，為什么？

Answer 1

分析：（1）求∠ACM的度數(shù)，需求出∠B的度數(shù)；在Rt△ABC中，已知∠A的度數(shù)，即可求出∠B、∠ACM的度數(shù)；
（2）乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式：
①

AB

AC

=

BC

CD

，此時(shí)需證Rt△ABC∽R(shí)t△CBD，那么過(guò)B作MN的垂線，那么垂足即為符合條件的D點(diǎn)；
②

AB

BC

=

AC

CD

，此時(shí)需證Rt△ABC∽R(shí)t△ACD，則過(guò)A作MN的垂線，垂足也符合D點(diǎn)的條件．
兩者的證明過(guò)程一致，都是通過(guò)弦切角得出一組對(duì)應(yīng)角相等，再加上一組直角得出三角形相似．

解答：解：（1）∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=62°，
∵直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，
∴∠ACM=∠B=62°；

（2）存在符合條件的點(diǎn)D，使AB•CD=AC•BC，
①過(guò)A作AD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC，
證明：∵M(jìn)N是半圓的切線，且切點(diǎn)為C，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AB

BC

=

AC

CD

，
即AB•CD=AC•BC；
②過(guò)B作BD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC，
證明過(guò)程同①，
因此MN上存在至少一點(diǎn)D，使AB•CD=AC•BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性質(zhì)，要求學(xué)生能夠熟練掌握相似的判斷和性質(zhì)并應(yīng)用．