Question

【題目】已知△ABC，D、E分別為AC、AB中點(diǎn)，BD和CE交于點(diǎn)O，BD和CE是一元二次方程x2﹣kx+24=0的兩個(gè)不等實(shí)根，則△BOE面積的最大值為（ ）
A.
B.2
C.
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵D、E分別為AC、AB中點(diǎn)，BD和CE交于點(diǎn)O，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BC，BC=2DE，

∴△DOE∽△BOC，

∴OD：OB=OE：OC=DE：BC=1：2，

∴OE= CE，OB= BD，

∵BD和CE是一元二次方程x2﹣kx+24=0的兩個(gè)不等實(shí)根，

∴BDCE=24，

若△BOE面積最大，則△BOE是直角三角形，

分兩種情況：

①若∠BEO=90°，則CE⊥AB，

∵E是AB的中點(diǎn)，

∴AC=BC，

同理：AB=BC，

則△ABC是等邊三角形，

∴BD=CE，不合題意；

②當(dāng)∠BOE=90°時(shí)，△BOE的面積= OEOB= × CE× BD= × × ×24= ；

故選：C．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用根與系數(shù)的關(guān)系和三角形中位線定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．