Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別為對角線BD上的兩點，且BE=DF．

（1）若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若四邊形AECF是菱形，則四邊形ABCD是菱形嗎？請說明理由？
（3）若四邊形AECF是矩形，則四邊形ABCD是矩形嗎？不必寫出理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC交BD于點O，如圖所示：

∵四邊形AECF是平行四邊形，

∴OA=OC，OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（2）解：理由如下：

∵四邊形AECF是菱形，

∴AC⊥BD，

由（1）知，四邊形ABCD是平行四邊形；

∴四邊形ABCD是菱形

（3）解：四邊形ABCD不是矩形；理由如下：

∵四邊形AECF是矩形，

∴OA=OC，OE=OF，AC=EF，

∴OA=OC=OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴AC＜BD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不是矩形．

【解析】（1）連接AC交BD于點O，由平行四邊形的性質得出OA=OC，OE=OF，再證出OB=OD，即可得出結論；（2）由菱形的性質得出AC⊥BD，即可得出結論；（3）由矩形的性質得出OA=OC=OE=OF，證出OB=OD，AC＜BD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，不是矩形．
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的判定和菱形的判定方法，需要了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能得出正確答案．