Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點D，E為⊙O上的兩個點，延長AD至C，使∠CBD=∠BED．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）當點E為弧AD的中點且∠BED=30°時，⊙O半徑為2，求DF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠DBA=90°，

∵ = ，

∴∠A=∠E，

∵∠CBD=∠E，

∴∠CBD=∠A，

∴∠CBD+∠DBA=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線，

（2）解：∵∠BED=30°，

∴∠A=∠E=∠CBD=30°，

∴∠DBA=60°，

∵點E為弧AD的中點，

∴∠EBD=∠EBA=30°，

∵⊙O半徑為2，

∴AB=4，BD=2，AD=2 ，

在Rt△BDF中，∠DBF=90°，

tan∠DBF= = ，

∴DF= ．

【解析】（1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠E，得到AB⊥BC，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠E=∠CBD=30°，進而得到∠DBA=60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論。
【考點精析】掌握圓周角定理和銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．