【題目】如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示的直角坐標(biāo)系,拋物線最高點(diǎn)D到墻面OB的水平距離為6m時(shí),隧道最高點(diǎn)D距離地面10m.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后寬為4m,高為6m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,那么這輛貨車能否安全通過?

(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?

【答案】(1)y=﹣(x﹣6)2+10;(2)這輛貨車能安全通過;(3)4m.

【解析】

(1)設(shè)出拋物線的解析式,根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo),代入解析式;
(2)由于拋物線的對稱軸為直線x=6,而隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,車寬為4m,則貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為(2,0)或(10,0),然后計(jì)算自變量為210的函數(shù)值,再把函數(shù)值與6進(jìn)行大小比較即可判斷;
(3)拋物線開口向下,函數(shù)值越大,對稱點(diǎn)之間的距離越小,于是計(jì)算函數(shù)值為8所對應(yīng)的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值.

解:(1)根據(jù)題意,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,10),C(0,4),

設(shè)拋物線解析式為:y=a(x﹣6)2+10,

將點(diǎn)C(0,4)代入,得:36a+10=4,

解得:a=﹣,

故該拋物線解析式為:y=﹣(x﹣6)2+10;

(2)由題意得貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為(2,0)或(10,0),

當(dāng)x=2x=10時(shí),y=>6,

所以這輛貨車能安全通過;

(3)令y=8,則﹣(x﹣6)2+10=8,解得x1=6+2,x2=6﹣2,

x1﹣x2=4 ,

所以兩排燈的水平距離最小是4m.

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(探究)如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),∠A=∠B=∠DPC.

(1)求證:△DAP~△PBC.

(2)PD=5,PC=10,BC=9,求AP的長.

(應(yīng)用)如圖,在△ABC中,AC=BC=4,AB=6,點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),連結(jié)CP,作∠CPE=∠A,PE與邊BC交于點(diǎn)E.當(dāng)CE=3EB時(shí),求AP的長.

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(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中,線段PD的最大值;

(3)若點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合,點(diǎn)Ex軸上,點(diǎn)F在拋物線上,問是否存在以A,P,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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如圖(2),DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿CBABC勻速動(dòng),在DEF移動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)P從ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2 cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí),DEF停止移動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng).DE與AC相交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4.5).

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