Question

【題目】如圖，把矩形紙片ABCD置于直角坐標(biāo)系中，AB∥x軸，BC∥y軸，AB=4，BC=3，點(diǎn)B（5，1）翻折矩形紙片使點(diǎn)A落在對(duì)角線DB上的H處得折痕DG．

（1）求AG的長(zhǎng)；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M（m，﹣1）使AM+CM最小，求出這個(gè)最小值；
（3）求線段GH所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由折疊的性質(zhì)可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，

∵AB=4，BC=3，

∴BD= =5，

設(shè)AG的長(zhǎng)度為x，

∴BG=4﹣x，HB=5﹣3=2，

在Rt△BHG中，GH2+HB2=BG2，

x2+4=（4﹣x）2，

解得：x=1.5，

即AG的長(zhǎng)度為1.5

（2）

解：如圖所示：作點(diǎn)A關(guān)于直線y=﹣1的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接CA'與y=﹣1交于M點(diǎn)，

∵點(diǎn)B（5，1），

∴A（1，1），C（5，4），A'（1，﹣3），

AM+CM=A'C= = ，

即AM+CM的最小值為

（3）

解：∵點(diǎn)A（1，1），

∴G（2.5，1），

過(guò)點(diǎn)H作HE⊥AD于點(diǎn)E，HF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示，

∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，

∴ = ， = ，

即 = ， = ，

解得：EH= ，HF= ，

則點(diǎn)H（ ， ），

設(shè)GH所在直線的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

則解析式為：y= x﹣ ．

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AG=GH，設(shè)AG的長(zhǎng)度為x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線y=﹣1的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接CA'與y=﹣1交于一點(diǎn)，這個(gè)就是所求的點(diǎn)，求出此時(shí)AM+CM的值；（3）求出G、H的坐標(biāo)，然后設(shè)出解析式，代入求解即可得出解析式．