【題目】如圖1,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象過點A(3,0),B(0,4)兩點,動點P從A出發(fā),在線段AB上沿A→B的方向以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD⊥y于點D,交拋物線于點C.設運動時間為t(秒).

(1)求二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的表達式;
(2)連接BC,當t= 時,求△BCP的面積;
(3)如圖2,動點P從A出發(fā)時,動點Q同時從O出發(fā),在線段OA上沿O→A的方向以1個單位長度的速度運動.當點P與B重合時,P、Q兩點同時停止運動,連接DQ,PQ,將△DPQ沿直線PC折疊得到△DPE.在運動過程中,設△DPE和△OAB重合部分的面積為S,直接寫出S與t的函數(shù)關系及t的取值范圍.

【答案】
(1)

解:把A(3,0),B(0,4)代入y=﹣x2+bx+c中得:

解得 ,

∴二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的表達式為:y=﹣x2+ x+4


(2)

解:如圖1,

當t= 時,AP=2t,

∵PC∥x軸,

,

∴OD= = × =

當y= 時, =﹣x2+ x+4,

3x2﹣5x﹣8=0,

x1=﹣1,x2=

∴C(﹣1, ),

,

則PD=2,

∴SBCP= ×PC×BD= ×3× =4


(3)

解:如圖3,

當點E在AB上時,

由(2)得OD=QM=ME= ,

∴EQ= ,

由折疊得:EQ⊥PD,則EQ∥y軸

,

,

∴t= ,

同理得:PD=3﹣

∴當0≤t≤ 時,S=SPDQ= ×PD×MQ= ×(3﹣ )×

S=﹣ t2+ t;

<t≤2.5時,

如圖4,

P′D′=3﹣ ,

點Q與點E關于直線P′C′對稱,則Q(t,0)、E(t, ),

∵AB的解析式為:y=﹣ x+4,

D′E的解析式為:y= x+ t,

則交點N( ),

∴S=SPDN= ×P′D′×FN= ×(3﹣ )( ),

∴S= t2 t+


【解析】(1)直接將A、B兩點的坐標代入列方程組解出即可;(2)如圖1,要想求△BCP的面積,必須求對應的底和高,即PC和BD;先求OD,再求BD,PC是利用點P和點C的橫坐標求出,要注意符號;(3)分兩種情況討論:①△DPE完全在△OAB中時,即當0≤t≤ 時,如圖2所示,重合部分的面積為S就是△DPE的面積;②△DPE有一部分在△OAB中時,當 <t≤2.5時,如圖4所示,△PDN就是重合部分的面積S.本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,并能利用方程組求出兩圖象的交點,把方程和函數(shù)有機地結(jié)合在一起,使函數(shù)問題簡單化;同時考查了分類討論的思想,這一思想在二次函數(shù)中經(jīng)常運用,要熟練掌握;本題還與相似結(jié)合,利用相似三角形對應邊的比來表示線段的長.

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A.
B.2
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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