如圖，∠BAC內(nèi)有一點(diǎn)P，直線L過P與AB平行且交AC于E點(diǎn)．今欲在∠BAC的兩邊上各找一點(diǎn)Q、R，使得P為QR的中點(diǎn)，以下是甲、乙兩人的作法：
（甲）①過P作平行AC的直線L1，交直線AB于F點(diǎn)，并連接EF．
②過P作平行EF的直線L2，分別交兩直線AB、AC于Q、R兩點(diǎn)，則Q、R即為所求．
（乙）①在直線AC上另取一點(diǎn)R，使得AE=ER．
②作直線PR，交直線AB于Q點(diǎn)，則Q、R即為所求．
對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？


  1. A.
    兩人皆正確
  2. B.
    兩人皆錯(cuò)誤
  3. C.
    甲正確，乙錯(cuò)誤
  4. D.
    甲錯(cuò)誤，乙正確
A
分析：根據(jù)甲的作法可知，四邊形EFQP、EFPR都是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得P是QR的中點(diǎn)；
在乙的作法中，根據(jù)平行線等分線段定理知QP=PR．
解答：解：（甲）由題意可知：四邊形EFQP、EFPR均為平行四邊形?EF=QP=PR．
∴P點(diǎn)為QR的中點(diǎn)，即為所求
故甲正確；
（乙）由題意可知：在△AQR中，∵AE=ER（即E為AR中點(diǎn)），且PE∥AQ，
∴P點(diǎn)為QR的中點(diǎn)，即為所求，
故乙正確．
∴甲、乙兩人皆正確，故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查平行線分線段成比例定理及平行四邊形的性質(zhì)、作圖能力等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•延慶縣一模）如圖1，已知：已知：等邊△ABC，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），求證：BD+DC＞AD．
下面的證法供你參考：
把△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，連接ED，則有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD
實(shí)踐探索：
（1）請(qǐng)你仿照上面的思路，探索解決下面的問題：
如圖3，點(diǎn)D是等腰直角三角形△ABC邊上的點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．求證：BD+DC＞
2
AD．
（2）如果點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到等腰直角三角形△ABC外或內(nèi)時(shí)，BD、DC和AD之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．
創(chuàng)新應(yīng)用：
（3）已知：如圖4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α為鈍角），D是等腰△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC與AD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2012•李滄區(qū)一模）【問題引入】
幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，水桶有大有小．他們?cè)撛鯓优抨?duì)才能使得總的排隊(duì)時(shí)間最短？
假設(shè)只有兩個(gè)人時(shí)，設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘（顯然T＞t），若拎著大桶者在拎著小桶者之前，則拎大桶者可直接接水，只需等候T分鐘，拎小桶者一共等候了（T+t）分鐘，兩人一共等候了（2T+t）分鐘；反之，若拎小桶者在拎大桶者前面，容易求出出兩人接滿水等候（T+2t）分鐘．可見，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，拎小桶者應(yīng)排在拎大桶者前面．這樣，我們可以猜測(cè)，幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，需將他們按水桶從小到大排隊(duì)．
規(guī)律總結(jié)：
事實(shí)上，只要不按從小到大的順序排隊(duì)，就至少有緊挨著的兩個(gè)人拎著大桶者排在拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘，并設(shè)拎大桶者開始接水時(shí)已等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了（m+T）分鐘，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人一共等候了（2m+2T+t）分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這兩個(gè)人交還位置，即局部調(diào)整這兩個(gè)人的位置，同樣介意計(jì)算兩個(gè)人接滿水共等候了
2m+2t+T
2m+2t+T
分鐘，共節(jié)省了
T-t
T-t
分鐘，而其他人等候的時(shí)間未變，這說明只要存在有緊挨著的兩個(gè)人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以這樣調(diào)整，從而使得總等候時(shí)間減少．這樣經(jīng)過一系列調(diào)整后，整個(gè)隊(duì)伍都是從小打到排列，就打到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊(duì)時(shí)間就最短．
【方法探究】
一般的，對(duì)某些設(shè)計(jì)多個(gè)可變對(duì)象的數(shù)學(xué)問題，先對(duì)其少數(shù)對(duì)象進(jìn)行調(diào)整，其他對(duì)象暫時(shí)保持不變，從而化難為易，取得問題的局部解決．經(jīng)過若干次這種局部的調(diào)整，不斷縮小范圍，逐步逼近目標(biāo)，最終使問題得到解決，這種數(shù)學(xué)思想就叫做局部調(diào)整法．
【實(shí)踐應(yīng)用1】
如圖1在銳角△ABC中，AB=4
2
，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是多少？
解析：
（1）先假定N為定點(diǎn)，調(diào)整M到合適的位置使BM+MN有最小值（相對(duì)的），容易想到，在AC上作AN′=AN（即作點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N'），連接BN′交AD于M，則M點(diǎn)是使BM+MN有相對(duì)最小值的點(diǎn)．（如圖2，M點(diǎn)是確定方法找到的）
（2）在考慮點(diǎn)N的位置，使BM+MN最終達(dá)到最小值．可以理解，BM+MN=BM+MN′，所以要使BM+MN′有最小值，只需使
BM+MN′=BN′
BM+MN′=BN′
，此時(shí)BM+MN的最小值是
4
4
．
【實(shí)踐應(yīng)用2】
如圖3，把邊長是3的正方形等分成9個(gè)小正方形，在有陰影的小正方形內(nèi)（包括邊界）分別取點(diǎn)P、R，于已知格點(diǎn)Q（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)）構(gòu)成三角形，則△PQR的最大面積是
2
2
，請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出面積最大時(shí)的△PQR的圖形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜坡AB長60米，坡角（即∠BAC）為30°，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE．（下面兩小題的結(jié)果都精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：
3
≈1.732）
（1）若修建的斜坡BE的坡度為1：0.8，則平臺(tái)DE的長為
14.0
14.0
米；
（2）斜坡前的池塘內(nèi)有一座建筑物GH，小明在平臺(tái)E處測(cè)得建筑物頂部H的仰角（即∠HEM）為30°，測(cè)得建筑物頂部H在池塘中倒影H′的俯角為45°（即∠H′EM），測(cè)得點(diǎn)B、C、A、G、H、H′在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知斜坡AB長60米，坡角（即∠BAC）為30°，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE．（下面兩小題的結(jié)果都精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)公式≈1.732）
（1）若修建的斜坡BE的坡度為1：0.8，則平臺(tái)DE的長為______米；
（2）斜坡前的池塘內(nèi)有一座建筑物GH，小明在平臺(tái)E處測(cè)得建筑物頂部H的仰角（即∠HEM）為30°，測(cè)得建筑物頂部H在池塘中倒影H′的俯角為45°（即∠H′EM），測(cè)得點(diǎn)B、C、A、G、H、H′在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜坡AB長60米，坡角（即∠BAC）為30°，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE．（下面兩小題的結(jié)果都精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）

（1）若修建的斜坡BE的坡度為1：0.8，則平臺(tái)DE的長為　     　米；

（2）斜坡前的池塘內(nèi)有一座建筑物GH，小明在平臺(tái)E處測(cè)得建筑物頂部H的仰角（即∠HEM）為30°，測(cè)得建筑物頂部H在池塘中倒影H′的俯角為45º（即∠H′EM），測(cè)得點(diǎn)B、C、A、G、H、H′在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的長。

 


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