Question

(10分)如圖1，O為正方形ABCD的中心，

分別延長(zhǎng)OA、OD到點(diǎn)F、E，使OF＝2OA，
OE＝2OD，連接EF．將△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針
旋轉(zhuǎn)角得到△E₁OF₁(如圖2)．
(1)探究AE₁與BF₁的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
(2)當(dāng)＝30°時(shí)，求證：△AOE₁為直角三角形．

Answer 1

解：(1)AE₁＝BF₁，證明如下：

∵O為正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD，∴OE＝OF 
∵△E₁OF₁是△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到，∴OE₁＝OF₁。
              ∵∠AOB＝∠EOF＝90⁰，∴∠E₁OA＝90⁰－∠F₁OA＝∠F₁OB
                                       OE₁＝OF₁
在△E₁OA和△F₁OB中， ∠E₁OA＝∠F₁OB，∴△E₁OA≌△F₁OB （SAS）
                                       OA＝OB                      
∴AE₁＝BF₁。
(2)取OE₁中點(diǎn)G，連接AG。
∵∠AOD＝90⁰，＝30° ，∴∠E₁OA＝90⁰－＝60°。
∵OE₁＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E₁OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。
∴ AG＝GE₁，∴∠GAE₁＝∠GE₁A＝30°。∴∠E₁AO＝90°。
∴△AOE₁為直角三角形。

略