Question

已知關于x的二次函數(shù)y=x²+（2k-1）x+k²-1．
（1）若關于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的兩根的平方和等于9，求k的值，并在直角坐標系（如圖）中畫出函數(shù)y=x²+（2k-1）x+k²-1的大致圖象；
（2）在（1）的條件下，設這個二次函數(shù)的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點．問函數(shù)對稱軸右邊的圖象上，是否存在點M，使銳角△AMB的面積等于3．若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）、（2）條件下，若P點是二次函圖象上的點，且∠PAM=90°，求△APM的面積．

Answer 1

解：（1）∵所給一元二次方程有解，
∴根的判別式△≥0，
即（2k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得k≤；
設方程的兩個根分別為x₁、x₂，
則x₁²+x₂²=9，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²-1，
分別代入上式，
解得k₁=-1或k₂=3，
∵k≤，
∴k=-1．
代入函數(shù)式中，得y=x²-3x，
配方可得y=，
即拋物線的對稱軸為x=，頂點坐標為D（，-），
大致圖象如下（如圖）；

（2）由（1），令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴A（0，0），B（3，0）．
這樣的點存在．
其坐標為M（2，-2）．
設M（x_m，y_m），而△AMB是銳角三角形，
故＜x_m＜3，
∴y_m＜0．故有S_△AMB===3，
∴|y_m|=2，y_m=±2，舍去正值，
∴y_m=-2，
當y_m=-2時，x_m²-3x_m=-2，
解得x_m=1或x_m=2，
∵＜x_m＜3，
∴x_m=1舍去，而＜2＜3，
∴x_m=2滿足條件，
∴這樣的點存在，其坐標為M（2，-2）；

（3）∵M（2，-2），
∴∠MAB=45°，
∴∠BAP=45°，
∴AP所在直線的解析式為：y=x，
∵P也在拋物線上，
∴x²-3x=x，
解得：x₁=0（舍去），x₂=4，
此時y=4，
∴P（4，4），可求得線段AP長=4，線段AM長=2，
∴S_△AMP==8．
分析：（1）利用根的判別式△≥0，求出k的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關系即可得出k的值，從而求出二次函數(shù)的頂點坐標與對稱軸，及可得出圖象；
（2）由（1），令y=0，得x²-3x=0，即可得出A（0，0），B（3，0），即可求出其坐標為M（2，-2）；
（3）由M（2，-2），得出∠BAP=45°，得出AP所在直線的解析式為：y=x，由因為P也在拋物線上，得出x²-3x=x，即可求出x的值．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關系等知識，此題對一元二次方程考查知識較多二次函數(shù)與一元二次方程結合是比較典型題目，同學們應注意它們之間的區(qū)別于聯(lián)系．