【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB>∠ABC,三條內角平分線AD,BE,CF相交于點I.
(1)若∠ABE=25°,求∠DIC的度數(shù);
(2)在(1)的條件下,圖中互余的角有多少對?列舉出來;
(3)過I點作IH⊥BC,垂足為H,試問∠BID與∠HIC相等嗎?為什么?
(4)G是AD延長線上一點,過G點作GP⊥BC,垂足為P,試探究∠G與∠ABC,∠ACB之間的數(shù)量關系,直接寫出結論,不需證明.
【答案】(1)65°;(2)12對,祥見解析;(3)相等,理由見解析(4)∠G=(∠ACB-∠ABC),理由見解析.
【解析】
(1)先由角平分線的定義求出∠ABC=50°,再由三角形內角和和角平分線的定義可知∠IAC+∠ICA=65°,然后由三角形外角的性質解答即可;
(2)根據(jù)互余兩個角的和等于90°,結合(1)中求得的結論求解即可;
(3)由(2)知∠BID=90°-∠BCF,又由IH⊥BC得∠HIC=90°-∠BCF從而可證BID與∠HIC相等;
(4)由三角形外角的性質可得∠PDG=∠ABC+∠BAD=90°+∠ABC-∠ACB,由直角三角形兩直角互余可得∠G=90°-∠PDG,整理可得∠G=(∠ACB-∠ABC).
解:(1)∵BE平分∠ABC,∠ABE=25°,
∴∠ABC=50°.
∴∠BAC+∠ACB=130°.
∵AD平分∠BAC,CF平分∠ACB,
∴∠IAC=∠BAC,∠ICA=∠ACB,
∴∠IAC+∠ICA= (∠BAC+∠ACB)=×130°=65°,
∴∠DIC=∠IAC+∠ICA=65°.
(2)由(1)知∠DIC與∠ABE互余,則∠DIC與∠EBC互余.
又∵∠DIC=∠AIF,
∴∠AIF與∠ABE互余,∠AIF與∠EBC互余.
同理,∠BID與∠ACF,∠BCF互余;∠AIE與∠ACF,∠BCF互余;∠CIE與∠BAD,∠CAD互余;∠BIF與∠BAD,∠CAD互余,一共有12對互余的角.
(3)由(2)知∠BID=90°-∠BCF,∵IH⊥BC,
∴∠HIC=90°-∠BCF.∴∠BID=∠HIC.
(4) ∠G=(∠ACB-∠ABC).
理由:
∵AI平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC,
∴∠PDG=∠ABC+∠BAD
=∠ABC+∠BAC
=∠ABC+(180°-∠ABC-∠ACB)
=90°+∠ABC-∠ACB.
∵GP⊥BC,
∴∠G=90°-∠PDG
=90°-(90°+∠ABC-∠ACB)
=(∠ACB-∠ABC).
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【題目】宜賓某商店決定購進A.B兩種紀念品.購進A種紀念品7件,B種紀念品2件和購進A種紀念品5件,B種紀念品6件均需80元.
(1)求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元?
(2)若該商店決定購進這兩種紀念品共100件,考慮市場需求和資金周轉,用于購買這100件紀念品的資金不少于750元,但不超過764元,那么該商店共有幾種進貨方案?
(3)已知商家出售一件A種紀念品可獲利a元,出售一件B種紀念品可獲利(5﹣a)元,試問在(2)的條件下,商家采用哪種方案可獲利最多?(商家出售的紀念品均不低于成本價)
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【題目】如圖1,有一正方形廣場ABCD,圖形中的線段均表示直行道路,表示一條以A為圓心,以AB為半徑的圓弧形道路.如圖2,在該廣場的A處有一路燈,O是燈泡,夜晚小齊同學沿廣場道路散步時,影子長度隨行走路線的變化而變化,設他步行的路程為x (m)時,相應影子的長度為y (m),根據(jù)他步行的路線得到y與x之間關系的大致圖象如圖3,則他行走的路線是( 。
A. A→B→E→G B. A→E→D→C C. A→E→B→F D. A→B→D→C
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【題目】(1)如圖①②,試研究其中∠1、∠2與∠3、∠4之間的數(shù)量關系;
(2)如果我們把∠1、∠2稱為四邊形的外角,那么請你用文字描述上述的關系式;
(3)用你發(fā)現(xiàn)的結論解決下列問題:
如圖,AE、DE分別是四邊形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分線,∠B+∠C=240°,求∠E的度數(shù).
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【題目】如圖1,在△ABC中,AD⊥BC于點D,CE⊥AB于點E.
(1)猜測∠1與∠2的關系,并說明理由;
(2)如果∠ABC是鈍角,如圖2,(1)中的結論是否還成立?
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【題目】如圖,∠AOB=20°,M,N分別是邊OA,OB上的定點,P,Q分別是邊OB,OA上的動點,記∠OPM=α,∠OQN=β,當MP+PQ+QN最小時,則關于α,β的數(shù)量關系正確的是( )
A.β﹣α=30°B.β﹣α=40°C.β+α=180°D.β+α=200°
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【題目】為解決樓房之間的擋光問題,某地區(qū)規(guī)定:兩幢樓房間的距離至少為40米,中午12時不能擋光.如圖,某舊樓的一樓窗臺高1米,要在此樓正南方40米處再建一幢新樓.已知該地區(qū)冬天中午12時陽光從正南方照射,并且光線與水平線的夾角最小為30°,在不違反規(guī)定的情況下,請問新建樓房最高多少米?
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側作△ADE,使AD=AE,∠DAE =∠BAC,連接CE.
(1)如圖1,當點D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=________度;
(2)設,.
①如圖2,當點在線段BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關系?請說明理由;
②當點在直線BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出你的結論.
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【題目】如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,AD是斜邊的中線,E、F分別是AB、AC邊上的點且DE⊥DF.
(1)求證:△AED≌△CFD;
(2)若BE=8,CF=6,求△DEF的面積;
(3)若AB=a,AE=x,請用含x,a的代數(shù)式表示△DEF的面積S.
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