Question

（2013•鎮(zhèn)江模擬）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖1所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形（E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)），再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖2中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)底為正方形的包裝盒，設(shè)AE=FB=xcm．
（1）若x=20cm，包裝盒底面正方形面積為

800

cm²；側(cè)面積為

1600

cm²
（2）設(shè)包裝盒側(cè)面積為S，
①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若要求包裝盒側(cè)面積S最大，問(wèn)此時(shí)x應(yīng)取何值？并求出最大面積；
（3）試問(wèn)能否用包裝盒盛放一個(gè)底面半徑為15cm，高為15cm的圓柱形工藝品？若不能，說(shuō)明理由；若能，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可以求出EF的值，就可以求出包裝盒的高和地面正方形的邊長(zhǎng)，從而得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)條件可以分別表示出陰影部分的面積，掀起的四個(gè)角上的四個(gè)等腰直角三角形的面積之和及底部正方形的面積就可以表示出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②將①的解析式化為頂點(diǎn)式就可以求出S的最大值；
（3）設(shè)包裝盒的底面正方形的邊長(zhǎng)為a，高為h，就可以得出AE=

2

2

a，EF=60-2AE=60-

2

a，h=

2

2

EF=30

2

-a，再三種情況討論就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，得
底面正方形的邊長(zhǎng)為：20

2

cm，
包裝盒的高為：10

2

cm，
∴包裝盒底面正方形面積為：（20

2

）²=800cm²；
包裝盒的側(cè)面積為：10

2

×20

2

×4=1600cm²；
故答案為：800，1600；
（2）∵AE=FB=xcm，
∴EF的長(zhǎng)為（60-2x）cm．
圖中陰影部分拼在一起是邊長(zhǎng)為EF的正方形，其面積為：（60-2x）²cm²，
掀起的四個(gè)角上的四個(gè)等腰直角三角形的面積之和為：2x²cm²；
盒底正方形的邊長(zhǎng)為

2

x，其面積為2x²；
∴S=60²-（60-2x）²-4x²=240x-8x²
∴S=-8（x²-30x）=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30），
∵a=-8＜0．
∴拋物線的開(kāi)口向下，S有最大值．
∴x=15cm時(shí)，側(cè)面積最大為1800cm²，
答：若包裝盒側(cè)面積S_最大=1800cm²最大，x應(yīng)取15cm．
（3）包裝盒的底面正方形的邊長(zhǎng)為a，高為h，
∴AE=

2

2

a，
∴EF=60-2AE=60-

2

a，
∴h=

2

2

EF=30

2

-a，
∴包裝盒的高h(yuǎn)隨底面邊長(zhǎng)的增大而減小．
①圓柱的底面朝下放入，此時(shí)包裝盒高h(yuǎn)不能小于15．
∵圓柱的底面半徑為15cm，
∴盒底邊長(zhǎng)最小取30cm（放入如①圖），
∴h=30

2

-a=30（

2

-1）＜15，故不能放下．
②圓柱體側(cè)面朝下放入，盒高h(yuǎn)最小取30cm，
此時(shí)底面邊長(zhǎng)最大為（30

2

-30）cm．
此時(shí)由兩種特殊的防治方法：
若按圖1放置，此時(shí)盒底邊長(zhǎng)a取30cm，
∴高為30

2

-30．
∵30＞30

2

-30，
∴放不下；
若按圖2放置，此時(shí)盒底邊長(zhǎng)為
a=30×

2

2

+15×

2

2

=

45 2

2

cm，
∵

45 2

2

-（30

2

-30）=30-

15

2

2

＞0，
∴也不能放下．
其他任意位置擺放，也不能放下，理由：
實(shí)質(zhì)上就是將邊長(zhǎng)為15和30的矩形放入另一矩形，如圖3，
此時(shí)矩形的面積S=（x+2y）（2x+y）=5xy+2（x²+y²），
=5x

225-x2

+450=5

225x2-x．4

+450．
令x²=t（0＜t＜225）
∴S=5

225t-t2

+450．
（x=0和15為圖1情況，x=

15

2

2

為圖2情況）
∴不能位置如何擺放，正方形的邊長(zhǎng)最小只能渠道30cm，
而30＞30

2

-30，不能放下．
綜上所述，不能放下這個(gè)幾何體．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，矩形的面積的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)分類討論是難點(diǎn)．